Hay una amplia familia de rompecabezas que proponen el desafío de armar o desarmar un objeto: separar una de sus partes o encastrar las piezas de la manera correcta. Pueden ser de alambre, de madera, de cuerda o de plástico; en general el mero hecho de tenerlos entre las manos y jugar con ellos ya produce un placer táctil muy hipnótico y relajante. Es muy probable que alguna vez hayas pasado largos minutos tratando infructuosamente de separar dos clavos retorcidos o de armar el cubo Soma. Luego llega el dueño de casa, y ¡zácate!, en un santiamén y con dos o tres movimientos logra que vos no conseguiste hacer tras largo esfuerzo. No es fácil explicar la solución de uno de esos rompecabezas. Sería complicado y engorroso que el dueño de casa te pase la solución por teléfono o por mail. Pero cuando lo ves todo parece sencillo.

En ese momento llegan en nuestra ayuda los videos. El de aquí muestra la solución a uno de los tantos rompecabezas que en el mundo anglosajón son conocidos bajo del nombre de Burr puzzles. El autor del video —que también mantiene el excelente weblog su.doku.es— lo llama La cruz del diablo y muestra con simplicidad y eficacia cómo armarlo. Este otro video exhibe —¡ya era hora!— la solución al rompecabezas de los dos clavos. El autor es Javier Santos, experto en rompecabezas mecánicos y autor de un libro sobre el tema. Para hacer un video así no hace falta mucho: el rompecabezas, la imprescindible cámara y una buena remera. Si revisás YouTube es probable que encuentres la explicación visual de ese rompecabezas que tanto te cuesta armar o desarmar. Y si no lo encontrás, bueno, es momento de que hagas tu aporte a la comunidad mundial de acertijeros.

El presidente de una empresa se enfrenta a un dilema y tiene que elegir entre dos opciones. No hay más: sólo es una o la otra. En su agenda tiene los telefónos de dos expertos. El primero acierta cinco de cada diez veces que se le pregunta algo. El segundo acierta solamente una de cada diez veces. ¿A cuál de los dos le conviene llamar?

Este simpático acertijo está incluido en Episodio 100, el útimo libro de divulgación matemática de Adrián Paenza. El libro está en las librerías y quizás en algunas bibliotecas, pero además se puede descargar gratuitamente en PDF desde la página web del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Buenos Aires.

No te apures a responder. La respuesta no es obvia.

Una idea similar se esconde detrás del acertijo clásico que ahora te contamos. Si se te ocurre cuál puede ser la respuesta, dejala en los comentarios.

Un caballero pobre se quiere casar con la princesa. El rey no está muy de acuerdo con el matrimonio pero su hija está enamorada y no quiere ser brusco para rechazar al novio. Se encuentra con el candidato en un jardín cubierto de piedras blancas y piedras negras. El rey agita frente a él una pequeña bolsa de cuero.

—Aquí adentro hay dos piedras, una blanca y una negra, que acabo de tomar de este jardín —dice el rey. —No quiero que se case con mi hija, pero dejemos que decida el destino. Extraiga una piedra. Si es blanca, entonces se pueden casar mañana mismo. Si es negra, deberá irse de la ciudad y nunca volver.

El caballero aceptaría gustoso el trato si no fuera porque, antes de llegar y escondido entre los matorrales, vio que el rey ponía en la bolsa de cuero dos piedras negras. Era una trampa. Estaba condenado.

Sin embargo, se las arregla para sacar una piedra de la bolsa y al día siguiente casarse con la princesa. ¿Cómo hace?

El campo de batalla tiene ocho casillas de ancho y tres casillas de profundidad. Las fichas de cada jugador están frente a frente; en el esquema vemos la posición inicial. Cada ficha se comporta exactamante como un peón de ajedrez: puede mover una casilla hacia adelante o puede capturar una ficha rival que esté en diagonal.

Gana el primer jugador que logre una cualquiera de estas tres cosas:

• llevar una ficha propia hasta la última fila opuesta
• capturar todas las fichas del rival
• dejarlo sin movida posible

El juego es tan sencillo que merece un análisis cuidadoso. Quizás lo mejor sea empezar con tableros más cortos, de seis, cinco o tres casillas de ancho.

Si el tablero tiene una sola casilla de ancho no hay capturas y el segundo jugador queda bloqueado sin mover ni una sola vez.

Si el tablero tiene dos casillas de ancho ya se vislumbran sutilezas. La jugada inicial del blanco es una sola. El negro puede capturar la ficha blanca que acaba de avanzar, pero luego el blanco capturará su ficha y lo dejará sin movimiento posible. Mucho mejor para el negro es mover su ficha libre hacia adelante: el blanco queda bloqueado y pierde la partida.

Los siguientes tableros quedan para que los analices vos o tu rival favorito.

Después pensá en este otro juego. En una tira de ocho casillas dos jugadores, por turno, colocan una ficha en una casilla vacía. No puede haber fichas vecinas. Quien no tiene lugar para jugar pierde la partida. ¿En qué se parece al juego que vimos antes?

Es posible que te hayas cruzado con el Boggle en una sobremesa o en una calcinante tarde debajo de la sombrilla. Hay dieciséis dados; cada cara tiene una letra. Los dados se agitan (el ruido suele ser molesto y estridente) hasta que quedan dispuestos en un cuadrado de cuatro por cuatro, con una azarosa letra visible en cada uno. Es el momento de la acción: el reloj de arena se da vuelta, y antes de que se consuma el tiempo cada jugador debe encontrar en el tablero tantas palabras como pueda. Las palabras deben deletrearse pasando de una letra a otra vecina en horizontal, vertical o diagonal; no está permitido usar más de una vez la misma letra en una sola palabra, pero sí puede repetirse en palabras distintas. Por supuesto, hay un puntaje para premiar la búsqueda de palabras largas. Y eso es casi todo. En la distribución de letras de aquí a la derecha, por ejemplo, se pueden detectar las palabras IDEA y HADO, entre otras.

Si bien es un juego conocido, no es tan popular como otros —el Scrabble o los crucigramas— por lo que no abundan detalles históricos o análisis estadísticos minuciosos. Apenas se sabe que fue creado por un tal Alan Turoff hace relativamente poco, en 1972. Como los dados son dieciséis y cada uno lleva seis letras, en total se usan 96 letras; el alfabeto tiene 27, por lo que varias se repetirán más de una vez. Una edición cuidadosa deberá respetar las frecuencias de cada lengua; en la nuestra, por ejemplo, la X aparece raramente, pero la A es muy habitual. Por otra parte, también es importante la manera en que las letras se ubican en los dados. Si la única H y la única J estuvieran en un mismo dado nunca jamás se podría formar la palabra HIJO. Se dice que en la versión original en inglés cuidaron de ubicar la única F y la única K en el mismo dado para evitar cierta palabra malsonante que podría generar situaciones incómodas al jugar junto al abuelo o la tía.

Además de ser un entretenido juego de mesa, el Boggle inspiró un entretenido desafío acertijero. En el Boggle original hay un tablero con letras y se deben encontrar palabras. ¿Qué pasaría si ya tenemos las palabras y debemos encontrar el tablero más pequeño donde se puedan leer? Digamos que las palabras son siete: los siete días de la semana. ¿Cuál es el menor tablero donde aparecen siguiendo las reglas del Boggle? Aquí al lado vemos el tablero más pequeño conocido donde se acomodan ajustadamente los planetas del Sistema Solar, incluyendo al desterrado Plutón. En el esforzado Libro de los récords del ingenio, Gustavo Piñeiro recopiló varios de estos desafíos: los doce signos del zodíaco, los siete colores del arco iris, los diez dígitos del cero al nueve. Algunos récords son imbatibles, pero otros todavía tienen margen. Quizás sepas entrar a la historia mejorando alguna de esas marcas o proponiendo un desafío nuevo.

Verbalia fue primero un libro y luego un sitio web nacido del talento y la erudición de Màrius Serra y que hoy es conducido a cuatro manos por Rafael Hidalgo y Beatrice Parisi.

A la manera del libro, el sitio web está dedicado a las exquisiteces y sutilezas del ingenio verbal y visual. Hay muchas secciones que vale la pena visitar y recorrer —los archivos son frondosos— pero aquí nos interesa especialmente la que llamaron Fauna verbívora.

La fauna verbívora es un gran diccionario biográfico del ingenio lingüístico. Tras cada nombre hay una historia de juegos con las palabras: a veces pequeña y accidental, a veces inmensa.

Quevedo escribió un poema en el que todas sus palabras empiezan con la letra A, y un soneto donde abunda y florece el oxímoron.

Un anagrama es una palabra o frase que utiliza las mismas letras que otra, pero en diferente orden. Aparecen en una canción de Caetano Veloso, mientras que Voltaire los utilizó para elegir su alias literario. Un oscuro pero ardientemente piadoso monje italiano construyó quinientos anagramas de la frase en latín «AVE MARIA, GRATIA PLENA, DOMINUS TECUM», todos en alabanza a la Virgen María.

La fauna verbívora reúne a celebridades —por allí vemos a Sigmund Freud, los hermanos Marx, Francis Ford Coppola, Les Luthiers y el poeta latino Virgilio— pero también a nombres más secretos. Mike Keith compuso un poema (en inglés) usando todas las fichas del Scrabble una vez y sólo una vez. El serbio Zoran Radisavljevic es especialista en anagramas.

Ernest Vincent Wright fue un escritor norteamericano que publicó Gadsby, una extensa novela donde no aparece nunca, ni una sola vez, la vocal E, mientras que Karen Reimer es la autora de un libro con todas sus palabras ordenadas alfabéticamente.

Hay docenas y docenas de nombres para conocer. Hay que recorrer la Fauna en un safari tranquilo y dejarse inspirar.

Parecen manchas sin forma y líneas sin sentido; parece el capricho de un pintor o la locura de un diseñador.

Pero al mirar desde un punto exacto todo se ordena. Las líneas se vuelven círculos perfectos y cuadrados regulares; las manchas forman figuras completas. Había rigor y geometría pero estaba oculta, esperando que nos detuviéramos en el lugar correcto para revelarse en toda su nitidez.

Son las obras del artista suizofrancés Felice Varini. Por la red hay muchos ejemplos de su obra. Para hacer evidente el efecto las fotos necesariamente deben venir de a pares: primero las manchas y la confusión, luego el orden y la geometría. Aquí vemos algunas; aquí otras. Es muy recomendable visitar el sitio del propio artista; no es muy intuitivo para navegar pero ofrece muchísimo material interesante.

Sin embargo, los videos son más efectivos para sorprendernos. Te presentamos dos. El primero muestra la obra Up Down, realizada en Nueva York.

En el segundo utilizó como lienzo un antiguo edificio en Marsella.

El recurso no es nuevo —se conoce como anamorfosis— pero Varini sabe explotarlo al máximo. Luego de ver sus obras quizás quieras hacer tus propios intentos, tal como le pasó al autor de este video.

En el Lejano Oeste son comunes los duelos de pistoleros. A lo largo de la calle principal —el saloon de un lado, la oficina del sheriff del otro— dos vaqueros se ubican frente a frente. Por lo general, sólo uno puede contar el cuento y entrar al saloon para tomar unos tragos.

Pero esta vez es diferente. No se enfrentan dos vaqueros sino tres. Por lo tanto no vamos a llamarlo duelo, sino truelo.

Los tres vaqueros están de pie y formando un triángulo, cada uno bien a la vista de los otros dos. Michael J Fox es novato e inexperto; sólo acierta uno de cada tres disparos. Clint Eastwood tiene mejor puntería: acierta dos de cada tres disparos. John Wayne es implacable y mortal: todos sus tiros dan en el blanco.

En lugar de disparar simultáneamente, lo harán de manera secuencial. Primero será el turno del peor tirador: Michael J Fox. Luego, si sobrevive, le tocará a Clint Eastwood. Finalmente, si todavía está vivo, podrá disparar el implacable John Wayne. Si cuando termina la ronda todavía hay dos o más vaqueros en pie, vuelven a empezar, con el mismo orden.

Es mediodía y el sol está sobre sus cabezas. Los tres vaqueros están preparados. El primero es Michael J Fox. ¿Qué le conviene hacer? La respuesta es muy sorprendente. Te invitamos a que suspendas la lectura un momento, pienses en el problema y trates de decidir qué es lo más conveniente para nuestro pistolero novato.

¿Le conviene dispararle a Clint Estaswood? Tiene dos tercios de probabilidades de fallar, pero si acierta le tocará el turno a John Wayne y eso implica su muerte segura. Definitivamente no, no le conviene dispararle a Clint Eastwood.

¿Entonces le conviene dispararle a John Wayne? Es un poco mejor, pero también es malo. Si acierta se enfrentará a Clint Eastwood, que es mejor tirador que él, y que empezará a disparar. No parece un escenario muy alentador.

¿Qué debe hacer? Es curioso, pero lo mejor para él es disparar al aire. Sí: su mejor opción es desperdiciar deliberadamente su turno. De esta manera, luego Clint Eastwood y John Wayne se dispararán entre sí —es la mejor opción para cada uno: sabrás ver por qué— y nuestro inexperto vaquero se enfrentará contra el sobreviviente, pero con la primera oportunidad de disparo. Eso mejora mucho sus posibilidades de éxito.

(La imagen pertenece a la película El bueno, el malo y el feo y muestra a los tres protagonistas enfrentándose en un truelo.)

Hace unos años, la BBC lanzó una campaña publicitaria para promocionar su servicio periodístico bajo el eslógan «Noticias más allá de tus fronteras». Las ilustraciones, realizadas por Karen Minot, a primera vista parecen mapas normales y corrientes; pero una inspección más atenta y creativa permite detectar siluetas ocultas que se vuelven evidentes cuando nos enfocamos en algunos de los países y descartamos los demás. (En este artículo podes ver todas imágenes; con un clic se vuelven más grandes. Como corresponde a un sitio de noticias, las siluetas ocultas tienen todas un tono bélico o conflictivo.)

A veces creemos reconocer figuras en las nubes, en las manchas de humedad, en la ropa amontonada en un ropero: esa nube se parece a un caballo, del ropero se asoma un monstruo terrorífico. Este fenómeno es estudiado por la psicología de la percepción y recibe el rimbombante nombre de pareidolia. ¿Funcionará también con mapas?

Porque es una lástima que los mapas de la campaña de la BBC sean totalmente ficticios. Pero no tiene por qué ser así. Ya es tradicional asimilar la silueta de Italia a una bota. Lo mismo, y también con una bota, ocurre con la provincia argentina de Santa Fe. En Francia llaman «el hexágono» al territorio continental del país, sin contar la isla de Córcega o las posesiones de ultramar; basta con mirar un planisferio para entender por qué. Con un poco de buena voluntad se puede reconocer un zapato en el mapa de Jujuy o una letra P en el mapa de la provincia de Buenos Aires.

¿Podrán encontrarse otras figuras en un mapa verdadero? Parece una manera muy placentera de recorrer un atlas. El mapa puede señalar países, provincias, municipios, comunidades, estados, no importa; y tal como en la campaña de la BBC, se pueden usar varios de esos países, provincias, etcétera, para formar una única figura.

En cierta época —estamos hablando de siglos atrás— era un recurso común asimilar la silueta de los países al dibujo de una persona, un animal o un objeto. Por lo general la imagen tenía una intención satírica; la elección del dibujo pretendía transmitir una opinión o una idea política. Un mapa de 1570 muestra a Europa como una reina; para ver el continente en la forma habitual tenés que inclinar la cabeza sobre tu hombro derecho. En este mapa de 1870 cada uno de los países de Europa se vuelve un personaje de caricatura: Inglaterra es una anciana malhumorada, Francia y Prusia son dos soldados mirándose con agresividad —entre esos dos países se iniciaría una guerra unos meses después—, España es una mujer que duerme la siesta. El recurso se utiliza todavía hoy: esta caricatura política tiene un par de décadas y muestra al Golfo Pérsico convertido en las fauces de un cocodrilo.

El número π tiene infinitas cifras decimales. Para cualquier tarea práctica, aún una que exija precisión máxima, sólo se necesitan algunas pocas; sin embargo, no es raro que se calculen centenares y miles de cifras — aquí se ven las primeras diez mil, y no es difícil encontrar el primer millón. Es fácil averiguar el valor de π en libros o en internet; muchas calculadoras lo tienen ya incorporado. Sin embargo, hay quienes eligen el camino difícil de memorizar tantas cifras como puedan. Es casi un desafío deportivo. El récord mundial vigente lo tiene un estudiante chino, Chao Lu, que recitó las primeras 67890 cifras de π en el año 2005. La proeza le llevó veinticuatro horas y cuatro minutos.

Para personas normales como nosotros es difícil recordar el teléfono de un tío; memorizar miles de cifras parece tarea imposible. Pero en nuestra ayudan vienen algunos viejos trucos mnemotécnicos.

Recordar números sueltos es complicado. Recordar palabras y frases es más natural. Cuando finalmente podemos llamar a nuestro tío —buscando el número en la agenda— no nos resulta tan difícil cantarle una larga canción que aprendimos la semana pasada. Quizás nos ayude la rítmica de las palabras, quizás la rima, quizás el sentido del texto o las imágenes que se describen. Ese es uno de los trucos: transformar el número en texto.

La manera más sencilla es construir un texto donde las sucesivas palabras tengan tantas letras como las cifras que queremos memorizar. En este texto la primera palabra tiene tres letras, la siguiente tiene una, luego vienen palabras de cuatro, una, cinco letras... Se forma el número 3,141592635 — nuestro viejo amigo π.

Sol y luna y cielo proclaman al divino autor del mundo.

Los siguientes versos fueron creador por el español Manuel Golmayo.

Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

Este pequeño poema de Rafael Nieto París es un poco más largo. En ambos casos el tema del texto es una alabanza al propio π.

Soy π, lema y razón ingeniosa,
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando enunció magistral.
Por su ley singular bien medido
el grande orbe, por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.

La prosa también está permitida.

¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! ¡Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!

Fue y cayó. Y queda solamente la inútil cifra con pocos destinos poderosos, tristes devenires sin el más sencillo bien. Idiota, re idiota, sabe que sus encantos son ya latosos decimales. Pobre...

El sitio Espejo lúdico está organizando un concurso literario inspirado en esta idea. La propuesta es escribir microrrelatos que utilicen como base los tres números irracionales más famosos: π, como acabamos de ver, la raíz cuadrada de 2 y el número áureo. Tal como vimos arriba, la idea es que la longitud de las palabras de esos textos queda determinada por las sucesivas cifras de cada uno de esos números. Los ceros se ignoran; los microrrelatos tienen que ser breves, no más de veinte palabras. Te recomendamos leer con atención las reglas y enviar tus inspiradas creaciones: hay tiempo hasta el 20 de noviembre.

(El collage fue creado por Mykl Roventine bajo una licencia de Creative Commons.)

Cinco piratas tienen que repartir un tesoro de cien monedas de oro. Para preservar sus identidades los llamaremos A, B, C, D y E. Entre ellos hay una estricta jerarquía: A tiene la máxima autoridad, luego sigue B, luego C, en cuarto lugar D y finalmente E. Podrían dividir el tesoro en partes iguales y ahorrarse las complicaciones, claro, pero prefieren otro sistema.

El pirata con más jerarquía propone una cierta distribución de las monedas. Todos votan si aceptan o rechazan esa distribución. Si la mayoría la acepta, entonces se realiza y listo. Si la mayoría la rechaza, entonces el pirata que la propuso es arrojado por la borda para que sea comida de tiburones. Uno menos para el reparto del botín.

Si tal cosa ocurriera, es el turno del siguiente pirata en la jerarquía, que debe hacer una nueva propuesta para distribuir las cien monedas. Lo mismo: si la aceptan se realiza, si la rechazan lo tiran al mar. En caso de empate, el autor de la propuesta tiene un voto decisivo.

Los piratas tienen tres criterios para decidir su voto. Primero: cada uno quiere sobrevivir. No es divertido que te coma un tiburón. Segundo: cada pirata quiere recibir la mayor cantidad posible de monedas. Tercero: si todo lo demás es igual, cada pirata prefiere que los demás mueran en el mar. Por algo son piratas y no vendedores de artesanías.

Esta es la situación. Vos sos el pirata A. ¿Qué tendrías que hacer para que los tiburones se queden con hambre?

Parece muy grande el riesgo de que voten en contra sólo para arrojarte por la borda. La intuición diría que conviene hacer una propuesta generosa y modesta, quedándote con pocas monedas o con ninguna, para que los demás, codiciosos, la acepten.

Sin embargo, no es así.

Imaginemos que sólo quedan dos piratas: D y E. D puede proponer quedarse él solito con las cien monedas y no darle nada a E. Por supuesto, E votará en contra, pero el resultado será 1 a 1 y como D tiene el voto de desempate, la propuesta se aprobará.

¿Qué pasaría si quedaran tres piratas, C, D y E? C sabe que D no le ofrecerá nada a E en la próxima ronda. E también lo sabe. Para ganarse el voto de E, lo que tiene que hacer C es ofrecerle algo. Una monedita alcanza: es mejor que ninguna. La propuesta de C, entonces, es «99 para C, 0 para D, 1 para E». Naturalmente, D votará en contra; pero C y E votarán a favor y la propuesta se aprobará.

¿Y si quedaran cuatro piratas? B puede prever lo que describimos en el párrafo anterior. Como tiene el voto de desempate, lo único que tiene que hacer es ganarse el voto de D ofreciéndole una moneda. Su propuesta: «99 para B, 0 para C, 1 para D, 0 para E» es aprobada con los votos de B y D, a pesar de la resignada protesta de C y E.

Llegamos a tu turno. Sabiendo todo lo anterior, basta con ganarse los votos de C y E. Tu propuesta tiene que ser: «98 para A, 0 para B, 1 para C, 0 para D y 1 para E». Todos contentos; vos más que nadie.

Es fácil toparse con dos letras R juntas: en el perro, en el barro, en el barrio o en el churrasco. Igual de fácil es toparse con dos L; durante casi doscientos años, de 1803 a 1994, la Real Academia Española consideró a la LL como una letra independiente y tuvo su lugar en el alfabeto entre la L y la M. La doble C también es bastante común, desde la lección al accidente, desde el equinoccio a la selección.

Un poco más raras, pero perfectamente normales, son la doble N —en perenne, en innato o en innovar— y la doble E —en leer, en creer, y en varias palabras con prefijos—.

Pero en nuestro idioma hay, aquí o allí, como pequeñas joyas entre los montones polvorientos de un anticuario, otras letras dobles además de estas. Por ejemplo, la doble A aparece en contraataque, en portaaviones y en contraalmirante. Con la doble U hay una palabra rarísima: duunviro, un cierto cargo político en la antigua Roma. (Un triunvirato está formado por tres triunviros; dos duuviros hacen un duunvirato.) Hay dos O en zoológico y en coordinar. Con dos S juntas hay una palabra perfectamente castellana: oessudeste, el punto cardinal intermedio entre el oeste y el sudeste. Aunque también hay otras, de claro origen extranjero pero muy usuales entre nosotros, desde dossier a motrocross, desde stress a kermesse.

Ahí está el problema. En castellano las demás letras no se presentan de a dos. Pero el feliz intercambio de ideas, comidas y costumbres entre los pueblos produjo un también feliz intercambio de palabras. Con esa generosidad cosmopolita podemos aumentar nuestra colección. Cómo resistirse a la doble zeta de la pizza o el jazz; a la doble G de jogging o reggae; a la doble P del hippie o del zapping.

Sin embargo, para algunas letras siamesas no tenemos que buscar en tierras lejanas, sino en el pasado. El latín nos provee la doble M de summum, la doble F de affidávit (que el diccionario define como «Documento legal que sirve como testimonio o declaración jurada ante un tribunal, o como garantía o aval en otros casos») o la doble D de addenda.

Sólo queda agregar la doble B que aparece en hobby o sabbat, la doble I en chiíta y antiimperialismo, y la doble T de vendetta, casette o fetuccini.

El alfabeto siamés no está completo. No encontramos ninguna palabra usual entre nosotros con las letras H, J, K, Ñ, V, W, X, Y repetidas dos veces. ¿Se te ocurre alguna?

(La foto se llama Identical twins y es de Diane Arbus.)

Nos encontramos con el juego de contar paseando al tuntún por la Wikipedia. No lo conocíamos y parece divertido. Es un juego para muchos, diez o más. No hay bandos ni rivales ni triunfador único; o ganan todos o no gana nadie.

El objetivo es que los participantes del grupo cuenten los números desde 1 hasta 20. Esto es: que alguien diga primero el 1, luego otro diga el 2, y así. El detalle es que todos tienen los ojos tapados, o se sientan de espaldas, o en un cuarto oscuro y sin luces: no puede haber ninguna comunicación entre ellos excepto los números que se van diciendo.

Cuando dos participantes dicen el mismo número al mismo tiempo, o cuando uno anuncia un número que no corresponde a la secuencia, el conteo debe empezar desde 1 de nuevo. Cada participante debe contribuir con al menos un número, y nadie puede decir dos números consecutivos. Se pueden agregar reglas más sutiles para penalizar las intervenciones cíclicas.

Con reglas así de sencillas pueden surgir situaciones complicadas e interesantes. Dicen en la Wikipedia:

Estratégicamente hablando, es mejor para los jugadores esperar y tener intervalos más grandes entre números, ya que esto reduce la probabilidad de superposición. Sin embargo, los jugadores se ponen nerviosos durante las demoras y usualmente deciden «hacerse cargo» de la situación diciendo el siguiente número.

La idea se podría aplicar a esas conversaciones en el chat donde cuatro o cinco amigos se reúnen a conversar juntos. Sería una situación incluso más conveniente: con las líneas de charla siguiendo un orden inexorable es muy claro ver qué número se dijo primero y cuándo alguien altera la secuencia.

Nosotros lo conocemos como Generala, pero con distintos nombres y ligeros cambios en las reglas se practica en bares, aulas y sobremesas de todo el mundo. Dentro del cubilete hay cinco dados; luego de agitarlos enérgicamente se vuelcan sobre la mesa. El jugador puede guardar algunos y volver a tirar los demás; luego del tercer intento debe obtener la combinación más valiosa posible. Aquí podés leer las reglas detalladas.

Algunas de las combinaciones recuerdan al póker, el juego de cartas de apostadores y vaqueros de las películas: la escalera (los cinco dados en sucesión creciente), el full (tres dados con un número y tres con otro), el póker (cuatro dados con el mismo número, el quinto con cualquier otro). La generala (los cinco dados con el mismo número) es la combinación más valiosa. Además se pueden suman puntos por repeticiones de un mismo número.

En otras versiones se agrega la escalera corta (sólo cuatro dados están en sucesión; el quinto no cuenta) que por supuesto es menos valiosa que la escalera larga de cinco dados, y el trío (tres dados tienen el mismo número; los otros dos no cuentan) que por supuesto es menos valioso que el póker. ¿Qué otras combinaciones podrían inventarse?

Luego de cada turno el jugador debe anotar algo en su planilla. Si obtuvo una combinación valiosa no hay dudas, pero ¿qué pasa si su tirada fue mala? Esa decisión es vital para la estrategia del juego. En el juego tradicional existe la doble generala, que es muy difícil de conseguir pero promete muchísimos puntos: es la última esperanza para quien está muy rezagado en el puntaje y a la vez resulta la primera opción de descarte cuando la suerte no nos sonríe. (La expresión «tachame la doble» está tan indisolublemente ligada a la generala como «jaque mate» al ajedrez o «canto las cuarenta» al tute.)

En Estados Unidos se comercializa bajo el nombre de Yahtzee. En Bolivia el juego se llama Alalay y es popularísimo; vale la pena enterarse de los apodos de los números y de los pequeños ritos y costumbres que rodean al juego.

Una chica tiene dos novios. Uno vive al norte y es divertido, inteligente, atlético y guapo. El otro vive al sur y es guapo, atlético, inteligente y divertido. Quiere a los dos por igual y no puede decidirse. Para visitar a cualquiera de ellos tiene que tomar el tren. Los sábados camina hasta la estación sin saber a cuál de los dos tiene ganas de ver. Entonces deja la decisión en manos del azar: si primero viene el tren hacia el norte, visita a uno; si primero viene el tren hacia el sur, visita al otro. Cada diez minutos pasa un tren hacia el norte y cada diez minutos pasa un tren hacia el sur, por lo que parecería que los dos tienen la misma chance.

Pero después de varios meses, el novio del sur la llama para quejarse amargamente. «¡De cada diez sábados, sólo me visitás uno!»

¿Qué está ocurriendo? Quizás quieras detenerte un poco, apartar la vista de la pantalla un instante, caminar un rato a lo largo del andén y tratar de pensar cuál puede ser la respuesta.

Un tren hacia el norte llega cada diez minutos, y cada diez minutos llega un nuevo tren hacia el sur. Pero lo importante es el intervalo entre uno y otro tren. Si el tren hacia el sur pasa un minuto después que el tren hacia el norte, entonces la única forma de visitar al novio del sur es llegar en ese exacto minuto en que ya pasó uno y todavía no pasó el otro. Si llega a la estación en cualquiera de los otros nueve minutos, entonces el siguiente tren irá hacia el norte. Para convencerte, hacé un pequeño modelo; suponé que el tren hacia el norte llega 17:10, 17:20, 17:30, 17:40, y que el tren hacia el sur llega 17:11, 17:21, 17:31, 17:41. Elegí un instante cualquiera; es más probable que el siguiente tren sea el que va hacia el norte. Con razón el novio del sur se quejaba.

Veamos otra historia. Un hombre viaja todos los días en tren, desde su casa, que queda casi en un extremo de la línea, hasta su trabajo, que queda en el otro. Cuando cada mañana llega a la estación comprueba que la mayoría de las veces el primer tren en llegar es el que va en la dirección opuesta a la suya. ¿Qué está ocurriendo? ¿Acaso los empleados del ferrocarril tienen un complot en su contra? Nada de eso. Leyendo lo anterior deberías poder imaginar una explicación.

Los problemas de ajedrez tradicionales se dirigen hacia adelante: a partir de la posición dada hay que encontrar la combinación que logra el objetivo pedido, sea un mate en tres, la superioridad de las Blancas, etc. No es raro toparse con estos problemas en diarios o revistas de interés general; para los expertos hay revistas especializadas y abundantes libros.

Pero en los arrabales de la pasión ajedrecística prosperan unos problemas muy singulares. Al género se lo conoce como análisis retrógrado, porque para encontrar la solución es necesario deducir qué ocurrió antes de la posición dada. A veces la consigna apunta directamente a eso: «¿Qué bando fue el último en mover?», «El rey blanco es invisible. ¿En qué casilla está?», «¿Qué pieza hizo la primera captura?». A veces se pregunta por un engañosamente tradicional mate en tantas, pero para hallar la respuesta es necesario reconstruir parte de la partida que llevó a esa posición.

Para lograr esa deducción no se precisa de la inmensa biblioteca mental de los ajedrecistas profesionales. Un problema de análisis retrógrado se parece más a un acertijo de lógica; aunque, claro, es necesario conocer las reglas y movimientos del ajedrez. En todo problema se supone siempre una partida legal, y por lo general también rivales sensatos y con ganas de ganar.

Quizás en castellano el nombre «análisis retrógrado» no sea muy feliz; quizás «retroanálisis» o «análisis retrospectivo» estarían mejor, pero suele prevalecer la traducción directa del retrograde analysis inglés.

Entre nosotros, el ajedrez es el juego de inteligencia con más renombre; sin embargo, la idea de un problema que exija desandar el camino y averiguar qué ocurrió antes puede aplicarse también a otros juegos.

Incluso el elemental tatetí es capaz de inspirar problemas interesantes y difíciles. Aquí te mostramos cuatro. En el primero simplemente hay que deducir quién empezó a jugar. Mirá el segundo tablero y dictaminá si se trata de una partida legal y correcta de tatetí. En el tercero hay apenas unas pocas marcas: ¿quién fue el primero en jugar? El último es el más complicado. Dos jugadores expertos llegan a la posición que se muestra y deciden acordar el empate, ya que ninguno de los dos tiene chances de ganar. ¿Cuál fue la primera jugada? ¿Cuál fue la última?

¿Qué tienen en común Blas Pascal, Karl Marx, Franz Kafka y Jack Black? Te habrás dado cuenta de inmediato: sus nombres sólo usan la vocal A. ¿Habrá más?

¿Qué tienen en común Julia Roberts, Rubén Darío, Martín Lutero, Bela Lugosi y Austin Powers? Ya lo dijimos hace tiempo: sus nombres usan las cinco vocales, una vez cada una y sin repetir.

¿Qué tienen en común todos estos personajes famosos?

Brad Pitt, King Kong, Karl Marx, Mona Lisa, Emma Peel, Fito Páez, Joan Miró, Alan Alda, Lola Mora, Moby Dick, Hugo Wast, León Bloy, Lena Olin, Carl Orff, Adam West, John Ford, Babe Ruth, Joel Coen, Pete Best, John Cale, Juan Gris, Anne Rice, Nick Cave, Leon Uris, Juan Forn, Nino Rota, Tori Amos, John Cage, John Hurt, Peer Gynt, Kate Moss, Joan Baez, Arvo Part, Lito Cruz, Jane Eyre, Carl Jung, Sean Penn, Paul Anka, José Rodó, Jeff Beck, Aldo Moro, John Nash, Mata Hari, Paul Klee.

No deberías tener dificultad para descubrirlo.

¿Y qué decís de estos: Federico Fellini, Marilyn Monroe, Hermann Hesse, Brigitte Bardot, Klaus Kinski, Greta Garbo, André Agassi, Bertolt Brecht, Daniel Defoe y James Joyce?

Si encontrás más, dejálos en los comentarios.

Nuestro calendario es caótico: parece diseñado por una mente malévola con el único propósito de confundir y perturbar. Los meses de treinta y de treinta y un días están distribuidos sin mucha regularidad; hay además un mes excéntrico de veintiocho días, que a veces tiene veintinueve. Si te preguntaran ahora en qué día de la semana caerá la próxima Navidad, la única forma de saberlo sería buscar un almanaque de este año y revisar el mes de diciembre. Pero detrás de tanto aparente desorden hay una regla sutil y casi invisible. Cuando termines de leer, en lugar de manotear el almanaque más cercano quizás te baste con cerrar un instante los ojos y hacer algunas cuentas sencillas. Sin duda, los que te conozcan van a quedar asombrados.

Solamente necesitás memorizar en qué día de la semana cayó el último día de febrero; generalmente es el 28, aunque cada cuatro años, en los bisiestos, es el 29.

Si necesitás saber en qué día de la semana cayó cualquier día de febrero, es fácil: basta con algunas restas y algunas sumas. Tomemos como ejemplo este año. Fue bisiesto; el 29 de febrero cayó en viernes. Siete días antes, el 22, también fue viernes; siete días antes de ese, el 15, también fue viernes. Ya es evidente que el día de San Valentín, el 14 de febrero, fue un jueves, mientras que el 18 de febrero, tres días después del viernes 15, tuvo que haber sido lunes. Es importante que puedas realizar todas estas restas y sumas mentalmente. Si hace falta, practicá tanto como necesites.

¿Y los demás meses? Hay una técnica para los meses pares y otra para los impares.

En todos los meses pares —dejando de lado febrero, que ya analizamos— se da esta curiosa coincidencia: el día que coincide con el número del mes cae en el mismo día que el último día de febrero. Si el 29 de febrero fue viernes, entonces el 4 de abril también fue viernes, lo mismo que el 6 de junio, el 8 de agosto, el 10 de octubre y el 12 de diciembre. Es fácil de recordar: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 y 12/12. ¿En qué cae el 12 de octubre? Es dos días después del 10, que es viernes; por lo tanto será domingo. ¿Y Navidad? El 12 de diciembre será viernes; si sumamos 7, tenemos 19; más otros 7, 26. Si el 26 de diciembre cae en viernes, entonces Navidad llegará un jueves.

El truco para los meses impares es similar; lo mismo que con los meses pares, consiste en detectar rápidamente un día del mes y a partir de allí avanzar y retroceder según sea necesario. En los meses pares era fácil, en los meses impares es un poco menos inmediato. Tenés que recordar estas parejas: 9-5, 7-11. En el mes 9, el día clave es el 5; en el mes 5, el día clave es el 9. En el mes 7, el día clave es el 11; en el mes 11, el día clave es el 7. ¿Qué día cayó el 9 de julio? Julio es el mes 7; por lo tanto, el 11 de julio fue viernes. Para llegar al 9 de julio hay que retroceder dos días. Por lo tanto, fue miércoles.

De esta manera queda cubierto casi todo el año, excepto enero y marzo, que como están demasiado cerca de febrero sufren cierta distorsión. Te dejamos la tarea de investigar cómo ubicar un día clave sencillo en cada uno de estos meses.

Este método funciona para cualquier año. Hace falta memorizar un solo día. Si averiguás pronto qué día cae el 28 de febrero del año que viene, vas a poder impresionar a tus amigos con tus aparentemente milagrosos dones para el cálculo mental.

Entre la multitud infinita de números anónimos y desconocidos, algunos logran destacarse y construir una personalidad especial. Ninguno de nosotros permanecerá indiferente ante el 13 ni ante el 666. Algunos números se hacen famosos por estar asociados a productos o marcas. Por ejemplo, el 747 no era nada antes de Boeing; para cierta generación la 303 será siempre una lapicera estilográfica y el 600 siempre el Fitito.

Algunos números se vuelven distintivos cuando se los entiende como años. En Argentina, el número 1810 tiene mucha más personalidad que 1809 o 1811. Algo similar y por idénticas razones ocurre en Estados Unidos con el número 1776. Cuando se ve el número 1492 es imposible dejar de pensar en el primer viaje de Cristóbal Colón; un reciente best-seller estadounidense juega con ese impulso y se llama 1491, porque describe las civilizaciones precolombinas.

Dos casos especiales son 1984 y 2001: se volvieron notorios y distintos a partir de las respectivas novelas de George Orwell y Arthur C. Clarke. También a través del espectáculo destacan el 007, el famoso James Bond, y los números 86 y 99, de los agentes secretos Maxwell Smart y su novia, que no tenía otro nombre que su número. A través de una serie de televisión muchos aprendimos que el código postal de Beverly Hills, un barrio rico de la ciudad de Los Ángeles, es el 90210.

Una persona con espíritu matemático puede encontrar notables los números 144, 81, 27 o 1024. Son, respectivamente, el cuadrado de 12, el cuadrado de 9, el cubo de 3 y la potencia décima de 2. Alguien más excéntrico puede insistir en que también es notable el 9872, porque equivale a la suma de 8 + 88 + 888 + 8888, o el 1729, que terminó involucrado en una famosa anécdota entre dos matemáticos de principios del siglo XX.

The secret lives of numbers es un curioso proyecto, en parte estadístico, en parte sociológico, en parte artístico, que explora la popularidad relativa de cada número entero entre uno y un millón. En el centro, la tira de números; la longitud de la línea naranja indica su fama. Con los botones de tu mouse podés hacer zoom. A la derecha están acomodados en un cuadrado, y la intensidad del color representa su popularidad. A la izquierda hay un pequeño recuadro donde se comentan algunas de las asociaciones más usuales para el número que señales. Como es de esperar, tenemos una inevitable tendencia a los números redondos, pero también hay curiosas variaciones y excentricidades. Vale la pena perderse un poco entre los números.

La historia habla de alumnos revoltosos y de un maestro agobiado. Para mantener a los niños en calma al menos durante unos largos minutos, el maestro les indica una ardua y monótona tarea: sumar los números del 1 al 100. Los niños, de unos diez años de edad, se sientan en sus pupitres y se esfuerzan en el cálculo. ¿Todos? No todos. Uno de ellos escribe un número en su hoja apenas termina de escuchar la consigna y luego se cruza de brazos mirando triunfante al maestro.

Cuando la mayoría termina la interminable suma, el maestro —se conserva el apellido de ese pobre hombre— se acerca y mira el número que el alumno veloz había escrito al instante. Por supuesto, se trata del resultado correcto. El maestro le pregunta cómo lo había calculado. «Fue fácil», responde el alumno. «El primer número es el 1 y el último es el 100. La suma de los dos es 101. Me di cuenta de que la suma del segundo número, el 2, más el anteúltimo, el 99, también es 101. Y que se llega al mismo resultado cuando se suma el tercer número con el antepenúltimo: 3 + 98 = 101. Todos los números se pueden acomodar en parejas, y la suma de cada pareja es la misma: 101. Como los números son 100, las parejas son la mitad: 50. Si hay 50 parejas y cada una suma 101, entonces el resultado es 50 × 101, esto es, 5050.»

El verdadero protagonista de esta historia es Carl Friedrich Gauss, uno de los más brillantes matemáticos de todos los tiempos. Puede ocurrir que sea una leyenda embellecida por el tiempo, por la literatura, por la admiración, pero sí es cierto que sus talentos matemáticos fueron muy precoces —sobre todo cuando niño— y muy inventivos —cuando adulto—.

El método del niño Gauss es notable porque permite ahorrar muchísimo trabajo, algo que queremos siempre, pero también porque puede aplicarse a números más grandes sin ningún esfuerzo extra. Si el maestro, con un poco de sadismo, les hubiera indicado que sumaran los números de uno a un millón, sus compañeritos hubieran tardado —si lograran sumar un número por segundo sin dormir ni descansar— más de once días. La respuesta de Gauss hubiera sido igual de instantánea.

¿Qué tienen en común el saxofón, la nicotina, el cárdigan, un dóberman y Colombia? La extraña respuesta es que todas esas palabras tienen su origen en el nombre de una persona. El saxofón fue creado por un luthier belga de apellido Sax, y la nicotina recibe su nombre de J. Nicot, un diplomático que llevó el tabaco hasta Francia hacia 1560. El cárdigan fue popularizado por el Conde de Cardigan, quien vivió bien abrigado en la primera mitad del siglo XIX. (Muchas prendas de vestir aluden a personas: el cuello mao, por ejemplo.) Colombia es un homenaje a Cristóbal Colón.

Las palabras de esta clase, que son más y más usuales de las que uno podría imaginar, reciben el nombre técnico de epónimos. En la ciencia los ejemplos son interminables; en cierta época, cuando los avances científicos provenían más de investigadores aislados en sus laboratorios que de gigantescas universidades o impersonales proyectos internacionales, cuando un físico descubría un nuevo fenómeno o un químico aislaba un nuevo elemento era normal que su apellido pasara a bautizarlo. Así tenemos vatios, ohmios, herzios, voltios, amperes, joules, y elementos químicos como el curio o el mendelevio. Pero también hay cosas que encontramos todos los días: sándwich, zepelín, gardenia, jacuzzi, birome, guillotina.

Inclusive hay países completos bautizados en homenaje a una persona. Ya mencionamos a Colombia; en América del Sur tenemos además a Bolivia, que recuerda a Simón Bolívar. Hay un tercer país en el mundo que pertenece a esta familia y queda en Asia; ¿se te ocurre cuál puede ser?

A partir de esta idea te proponemos un pequeño juego literario que podés practicar con tus amigos. Cada uno toma una hoja y en el primer renglón anota una palabra, cualquiera, la que se le ocurra. Luego le pasa la hoja al que está sentado a su derecha, que debe suponer que es un epónimo y contar la historia de la palabra y de la persona que originó esa palabra. Luego leen sus historias en voz alta; ganan todos.

¿Por qué la baraja tiene cuatro palos y no tres o cinco o ninguno? ¿Por qué algunas cartas tienen números y otras, las de valor más alto, muestran figuras de hombres o mujeres? ¿Por qué no hay una tercera variable, por ejemplo el color? Si bien hay juegos modernos que exploran todas estas variaciones, la baraja que conocemos bien es así desde hace muchos siglos.

La baraja llega a Europa desde el este durante del siglo XIV, como evolución de un juego con naipes practicado por los árabes. Posiblemente hayan hecho pie a través de Italia, estratégico lugar para las rutas comerciales entre Occidente y Oriente, o a través de España, en ese momento ocupada por los moros. Parece que los diseños españoles son estilizaciones o simplificaciones de los diseños italianos, lo que sería un argumento para darle prioridad a Italia. Sin embargo, sobre este tema hay pocos documentos antiguos y cualquier afirmación debe ser hecha con prudencia.

Una vez en Europa se extiende rápidamente. La baraja es mencionada por primera vez en España en 1371, descrita con detalle en Suiza en 1377, y hacia 1380 se informa de su existencia en sitios tan dispersos geográficamente como Florencia, Brabante, Ratisbona, Basilea, París y Barcelona.

¿Y antes? Se supone un origen remoto en Persia, y luego una transmisión a las culturas vecinas. Este mazo conjetural tendría cuatro palos, cada uno con diez números y dos cartas mayores; en total, 48 naipes. Hacia un lado, en India, se duplicó la cantidad de palos, con lo que el mazo pasó a tener 96 naipes. Pero hacia el otro, en Arabia, se agregó una carta mayor, con lo que cada palo pasó a tener diez números y tres cartas mayores: en total 52 naipes. De aquí viene el juego de los árabes que primero se conoció en Europa. Tal distribución de números y cartas mayores es idéntica a la de la actual baraja francesa, aquella que usamos para jugar al bridge o al póker.

Martin Gardner, un estadounidense ya anciano, es sin titubeos la persona más respetada y más influyente en el mundo de la matemática recreativa. Es el Borges de los juegos de ingenio, es el Maradona de los acertijos.

Ahora está retirado y sólo ocasionalmente escribe artículos. Pero durante más de veinticinco años tuvo a su cargo una sección regular en la revista de divulgación científica Scientific American; esta sección se convertiría en el punto de referencia de todos los interesados en juegos de ingenio, rompecabezas y delicias semejantes. Todos esos artículos están recopilados en una serie de quince libros que afortunadamente se encuentran traducidos al castellano. En conjunto forman la mejor y más completa enciclopedia de acertijos que se haya escrito.

Además, Gardner se ocupó de volver a editar libros clásicos del ingenio, como los de Sam Loyd o Ernest Dudeney. También preparó versiones profusa y eruditamente anotadas de libros de Lewis Carroll: las dos Alicias y La caza del Snark.

Cuando joven, Martin Gardner estudió filosofía y se dedicó a la magia. Siempre trabajó con una vieja máquina de escribir y un monumental fichero repleto de tarjetas de 8 por 13 centímetros. A través de su tarea de creación y divulgación se ubicó en el centro de un universo de ludoadictos y matemáticos, lógicos y lingüistas excéntricos. Cada dos años se realiza un monumental y bullicioso encuentro de aficionados a los juegos con la intención de intercambiar hallazgos, rompecabezas y descubrimientos. Ese evento fue nombrado en su homenaje: Gathering for Gardner.

Si todavía no tiene ningún libro de él, vaya y consígase uno ya mismo.

El juego se llama Big Cheese y fue creado por una pequeña empresa estadounidense. Es ideal para cuatro o cinco jugadores que quieran entretenerse un rato con un juego liviano.

Buscá una baraja y quitale las figuras, dejando solamente los números del 1 al 10 de cada palo. Agregá un dado común. A cada jugador dale diez fichas o monedas. Listo. Ya podés empezar a jugar.

La baraja se mezcla y se coloca boca abajo en el centro de la mesa. Se da vuelta la primera carta; digamos el 5 de corazones. En ronda, los jugadores empiezan una subasta para ver quién se la queda. Ana ofrece dos fichas; Boris tiene que superar la oferta, y adelanta tres de sus fichas. Carla ofrece cuatro y Doris, cinco. Eloy, decidido a quedarse con la carta, ofrece ocho de sus diez fichas. Como los demás no quieren superar esa oferta, es Eloy el que se lleva la carta.

La pone frente a él, a la vista de todos, y acomoda encima las ocho fichas que ofertó. En la mano sólo le quedan dos fichas; va a ser difícil que pueda comprar otra carta, pero quizás aparezca una ganga. No hay límites para la cantidad de cartas que un jugador puede comprar.

Cada vez que alguien compra una carta, todos los jugadores con cartas ya compradas quitan una ficha de cada una de ellas. Esas fichas vuelven a sus manos, y las pueden usar para hacer ofertas más ambiciosas en la ronda siguiente. Ahora, la carta de Eloy tiene ocho fichas encima. En la siguiente ronda tendrá siete; Eloy pasará a tener tres fichas en la mano. En la ronda después de esa tendrá seis fichas sobre la carta y cuatro en la mano.

Cuando sobre una carta ya no hay fichas, queda libre, y es el momento de calcular los puntos. El dueño de la carta tira el dado, y multiplica el número que sale en el dado por el número de la carta. Por ejemplo: si sale el 4, y la carta es el 5, entonces gana 4×5=20 puntos. Luego de esto, la carta se pone a un lado y ya no participa del juego.

El primero en sumar 200 puntos gana el juego.

Es difícil decidir qué conviene hacer. Las cartas más altas dan más puntos, pero salen más caras y exigen esperar más tiempo. ¿Será preferible ganar muchas cartas bajas, de pocos puntos cada una pero que quedarán libres muy pronto? Tendrás que averiguarlo por vos mismo.

¿Cuál es el mayor número que se puede formar con tres cifras 9? No te apures a decir 999. Tampoco respondas 99×9, no sólo porque es menor a 999, sino porque usa un signo adicional, el de la multiplicación. Sólo con esas cifras, sin ninguna otra, ¿cuál es el mayor número que se puede formar?

La respuesta es 9⁹⁹, esto es, nueve elevado a la nueve elevado a la nueve. Sabemos que 9⁹ equivale a 9×9×9×9×9×9×9×9×9, lo que ya es 387420489. Para elevar este número otra vez a la potencia 9 hace falta hacer 387420488 multiplicaciones.

El resultado tiene 369692128 cifras. Si escribieras cada cifra en una tira de papel, enforzándote en que cada una no mida más de un milímetro, te llevaría 1478 kilómetros, más o menos la distancia que hay entre Buenos Aires y Salta.

¿Cuál es el mayor número que se puede formar con tres cifras 3? Seguramente aprendiste la lección y responderás muy apurado 3³³. Pero no. En este caso, el mayor número es 3³³, que es igual a 5559060566555523. Si te fijás bien, 3³³ equivale a 3²⁷, cuyo resultado es apenas 7625597484987, 729 veces menos.

¿Cuál es el mayor número que se puede formar con tres cifras 1 y tres cifras 0? Ya intuirás que no es el 111000. La respuesta es 10¹⁰¹⁰. El resultado es astronómico: se escribe con un 1 seguido de diez mil millones de ceros. Si escribieras 75 cifras por minuto, para completarlo tardarías más de doscientos años.

Vivimos en un mundo de tres dimensiones: cada persona que conocés, cada objeto a tu alrededor, cada árbol, cada animal y cada edificio tienen alto, ancho y espesor. para saber si la nueva heladera entra en el hueco de la cocina es necesario tomar tres medidas: desde el piso hasta arriba, desde la izquierda hasta la derecha, desde la puerta hasta la pared que hay atrás.

Pero podemos imaginar un mundo de solamente dos dimensiones. Sus habitantes se moverían en el plano como si fueran figuras de papel que se deslizan adheridas a una mesa. Más que eso, porque es papel tiene algo de espesor, mínimo pero existente. En este conjetural mundo de dos dimensiones no puede haber espesor en absoluto; sólo largo y ancho. No se deslizarían sobre la mesa: serían parte de la superficie de la mesa.

Hace más de cien años, un escritor inglés imaginó un mundo así y lo llamó Flatland. Lo describe en una extraña novela de ciencia ficción; si sabés inglés podés leerla aquí. El protagonista es un cuadrado, que primero nos describe su plano mundo, y luego cuenta sus difíciles experiencias con mundos de menos y más dimensiones. Hubo luego otros escritores que retomaron la idea y se entusiasmaron con los detalles más prácticos y concretos de ese mundo de dos dimensiones. ¿Cómo sería su organización política? ¿Podrían tener deportes o ciencia? ¿Existirían las ruedas o los relojes?

Pensar esos detalles es un entretenido ejercicio mental. En un mundo plano no puede haber ruedas porque los ejes no podrían atravesar el centro; los vehículos deberían moverse sobre rodillos giratorios. Las tazas no pueden tener asas: los dedos de los planilandeses jamás podrían acceder al agujero. En Planilandia no existen los nudos; si examinás la situación con detalle verás que para todo nudo hace falta que la cuerda se cruce consigo misma. Tampoco los clavos: al clavarlos, el objeto se partiría en dos sin remedio. ¿Qué otras cosas que tenés a tu alrededor ahora mismo no podrían existir en un mundo de dos dimensiones?

Los dados que usamos para jugar a la generala tienen seis caras, numeradas con cuidado desde el 1 hasta el 6. No hay duda de que son los más comunes; podemos encontrarlos en todas partes, con las previsibles diferencias de tamaño, material o diseño. Sin embargo no son los únicos que existen: en secreto, casi clandestinamente, se agitan y ruedan dados muy diferentes.

Algunos dados raros tienen otra cantidad de caras. Quien haya jugado o visto jugar a los juegos de rol estará familiarizado con dados de cuatro, ocho, doce y veinte caras. Un dado virtuoso debe ser justo y equilibrado; esto es, cada una de sus caras debe tener igual chance de salir. Por eso los dados raros aprovechan la contundente igualdad de los sólidos platónicos, poliedros ya conocidos e individualizados desde la antigua Grecia. Los sólidos platónicos están construidos con caras iguales, todas sus aristas tienen la misma longitud y a cada vértice concurre la misma cantidad de caras; el equilibrio está asegurado. Para construir dados con otra cantidad de caras es necesario relajar un poco estos requisitos. Así, por ejemplo, en los juegos de rol se suele incluir un dado de diez caras, porque siempre resulta útil generar números del 1 al 10. Cada una de sus caras tiene forma de barrilete; cinco confluyen en el vértice superior y cinco confluyen en el vértice inferior. Los coleccionistas de dados —los hay y son muchos— suelen exhibir también dados más extraños, inclusive un dado de cien caras con nombre propio: zocchiedro.

Un dado puede tener seis caras y aún así ser raro, debido a lo que esas caras muestran. En el conocido juego Boggle, en cada cara hay una letra del abecedario; agitando el puñado de dados quedan elegidas letras al azar que deben ser usadas para formar palabras. La caja de backgammon suele traer tres dados. Dos son comunes: seis caras, números del 1 al 6. El tercero, que por lo general es ignorado, tiene los números 2, 4, 8, 16, 32 y 62. Es decir, cada número es el doble del anterior; se lo llama dado de doblaje y sirve para acordar con el rival el valor del juego en disputa. Sin embargo, este dado en realidad nunca es arrojado sobre la mesa, sino que el jugador elige qué cara debe mostrar según la apuesta que desee hacer.

Algunos juegos reemplazan algunos números por símbolos especiales, que señalan eventos extraordinarios o casillas distintivas. Por ejemplo, algunos dados del ludo tienen una corona o una flor de lis. También hay dados para jugar al póker: cada cara muestra un valor entre el 9 y el As, y la baraja que se mezcla y reparte es reemplazada por un cubilete que se agita.

Si querés iniciar una colección de dados raros, vas a tener mucho trabajo.

El primer juego es muy simple. Vos y tu adversario están junto a una mesa. Al alcance de los dos hay una ilimitada cantidad de monedas. Por turno, cada jugador ubica una moneda sobre la mesa. La nueva moneda no puede tocar ni superponerse a ninguna de las monedas ya ubicadas. Quien a su turno no puede jugar, pierde. ¿Cómo hay que hacer para ganar siempre? ¿Conviene ser el primero o segundo?

Veamos otro, también muy simple. Se juega sobre un tablero de ajedrez, que tiene 8×8 casillas. En su turno, cada jugador ocupa dos casillas contiguas y vacías. Quien a su turno no puede jugar, pierde. Esta vez, ¿cómo hay que hacer para ganar siempre? ¿Conviene ser el primero o segundo?

El tercer juego. Más sencillo, imposible. Sobre la mesa hay dos montones de monedas, ambos con la misma cantidad. En su turno, cada jugador se lleva la cantidad de monedas que quiera, pero de un solo montón. El que se lleva la última moneda, pierde. ¿Cómo hay que hacer para ganar siempre? ¿Conviene ser el primero o segundo?

Aunque pueden parecer muy diferentes, en los tres juegos se puede seguir la misma estrategia: la poderosa simetría. En el último, gana el segundo jugador: simplemente tiene que fijarse cuántas monedas se lleva el rival, y llevarse luego la misma cantidad de monedas pero del otro montón. En el segundo también gana el segundo jugador: se fija qué casillas ocupó el rival, y ocupa cuidadosamente las casillas simétricas respecto al centro. Si el rival encuentra dónde puede jugar, el segundo también podrá hacerlo; si el rival no puede jugar, bueno, ya perdió. El primero de los juegos no es muy distinto, sólo que esta vez gana el primero, mediante el simple y letal procedimiento de ubicar la primera moneda exactamente en el centro de la mesa. A partir de allí juega con simetría: se fija cuál fue la última jugada del rival, y ubica su moneda en el lugar de la mesa equivalente con respecto al centro.

Los juegos tienen reglas. Las reglas no son parte del juego: son anteriores, y al sentarse a la mesa, desplegar el tablero y ubicar las fichas en la posición inicial, los participantes deben conocerlas y aceptarlas. Al hacer trampa un jugador sale del juego; por eso no tiene sentido que una regla del juego explique qué hacer en caso de que se descubra a alguien haciendo trampa. En ese caso, ¡hacer trampa estaría permitido por las reglas!

Esto ocurre con todos los juegos. En el ajedrez, las reglas establecen el tamaño del tablero, los tipos de piezas y los poderes de cada una, el objetivo. Lo mismo ocurre en el backgammon y en el truco. Las reglas de las escondidas asignan diferentes roles a los jugadores y un estricto protocolo para contar, correr, esconderse y buscar, e incluso hay frases rituales que se deben respetar cuidadosamente. El fútbol, que también es un juego, tiene severas reglas y un árbitro mira de cerca para que todos las cumplan.

En todo juego las reglas están en un nivel superior. Son intocables. En un nivel inferior, en el espacio que esas propias reglas crean y permiten, se desarrolla el juego en sí mismo: los gambitos, las gambetas, la corrida hacia la piedra liberadora.

Sin embargo, hay un juego raro, donde esos dos niveles son uno solo. El juego consiste en modificar las reglas que dicen cómo jugar. Es un juego que se muerde la cola.

Se llama Nomic. Fue inventado por por Peter Suber, profesor de leyes y filosofía, mientras investigaba los bucles autorreferenciales que aparecen en todo sistema jurídico complejo. Si la ley permite cambiar la ley, ¿cuál es la legitimidad de ese cambio?

Tu primera decepción: tal como fue planteado por su autor, es un juego intrincado y que posiblemente jamás termine. Tu segunda decepción: no lo vamos a explicar ahora, porque es un poco largo. Pero ya la idea es inspiradora y quizás te sirva para inventar tus propios juegos o para estimularte a investigar más. Sólo te vamos a contar someramente de qué se trata.

Pueden participar cuantos quieran; diez o doce es una buena cantidad. El reglamento inicial consiste en un grupo de leyes que determinan cómo empieza el juego: por turno, cada participante propone una nueva regla o la modificación de una regla existente; su propuesta es sometida a votación; si la nueva regla es rechazada pierde diez puntos, pero si es aprobada tira el dado y se anota esa cantidad de puntos; gana quien llega a cien puntos. Las reglas están divididas en dos clases: las mutables, que pueden cambiarse en cualquier momento, y las inmutables, que deben ser convertidas previamente en mutables antes de ser cambiadas. Dijimos que este es el reglamento inicial. A medida que avanzan los turnos las reglas desaparecen o se modifican, y aparecen reglas nuevas. «¡Lo del dado es aburrido!», dice aquel, y propone una alternativa. «¡Que las mujeres tengamos dos votos y los varones solamente uno!», dice aquella, y somete la propuesta a votación. «¡Todas las nuevas reglas deben ser expresadas en palabras que sólo usen la vocal A!», propone Casandra. «¡Si una regla es aprobada, su autor debe zambullirse en la pileta!», dice otro.

Es un juego raro y enérgico, desconcertante y aventurero. Te sugerimos que investigues un poco más, te reúnas con amigos y lo pruebes. Después contanos cómo te fue.

La frase del título es correcta: si contás las palabras verás que son exactamente cinco. También es correcta la siguiente frase:

En esta frase hay exactamente siete palabras.

No es muy difícil. Veamos algo más complicado.

Esta frase tiene treinta y cuatro letras.

Eso está mejor. Si desconfiás podés contarlas: en la frase hay exactamente treinta y cuatro letras, como ella misma dice.

Modificando ligeramente la frase —por ejemplo agregando alguna palabra inofensiva— hay que iniciar de nuevo el conteo de letras. Vemos este ejemplo creado por Francisco Briz Hidalgo:

En esta frase hay exactamente cuarenta y cinco letras.

Del mismo autor, una frase más ambiciosa:

Esta frase tiene exactamente setenta y siete letras, de las cuales treinta y tres son vocales.

En todos los casos, lo que dicen las frases es siempre correcto. Incluso la siguiente, monstruosa y colosal, minuciosa y maníaca.

Esta frase contiene doscientas cuarenta y una letras, de las cuales ciento seis letras son vocales y ciento treinta y cinco letras son consonantes; además contiene veintinueve veces la letra a, cuarenta y cinco veces la letra e, trece veces la letra i, trece veces la letra o y seis veces la letra u.

Esta incluye el nombre de su autor. Es casi imposible plagiarla.

Esta frase autoalusiva tiene treinta y ocho palabras, ochenta y una silabas, ciento ochenta y ocho letras, ochenta y cuatro vocales y ciento cuatro consonantes; y fue hecha por Carlos Bidegain en el penúltimo año del siglo veinte.

En su sitio Juegos de palabras, Francisco Briz Hidalgo publicó primero:

Esta frase tiene exactamente cuarenta y cinco letras.

y luego agregó

Al añadir otra frase llegamos hasta noventa y dos letras.

¿Por qué detenerse allí? Las frases siguientes fueron:

Esta tercera frase y las dos anteriores suman ciento cincuenta y siete letras. Ahora suma todas ellas y verás que suman doscientas cinco.

En envión fue imparable. Con la ayuda de amigos y lectores de distintas partes del mundo, la bola de nieve autoalusiva creció y creció y creció. Poco a poco las colaboraciones adquirieron la forma de octosílabos, y las frases empezaron a dialogar unas con otras. Un par de años después superaron las doscientas mil letras, y siguieron. Aquí está la última frase. Hasta ahora.

Una sábana y una sabana son cosas muy diferentes. Una sábana es suave, se tiende sobre la cama, se plancha y tiene dibujos de jirafas. (No las mías.) Una sabana es una llanura extensa, fértil, sin árboles, y suele tener jirafas verdaderas. Sin embargo, ambas palabras, sábana y sabana, se distinguen por casi nada, por una minucia, un detalle, una rayita: apenas por el acento.

Lo mismo ocurre con las dos palabras del título. Un pulpo pequeño no tiene nada que ver con la plataforma de las iglesias desde donde se da el sermón. Sin embargo, las palabras son casi idénticas; lo único que las diferencia es el acento.

¿Hay más pares de palabras con esta rara característica? Claro que sí. Los acompañantes del rey no se mojaron: el séquito quedó sequito. Aquel se jubiló con júbilo; el asesino a sueldo ultimó al último. No podemos olvidar, claro, la pareja de papá y papa.

En el siempre interesante sitio Juegos de palabras recopilaron tríos de palabras así; las llaman palabras tritónicas, porque pueden tener tres sílabas tónicas diferentes. Por supuesto, cada trío contiene pares. Aunque la labor exhaustiva es encomiable, nos decepciona un poco que en la mayoría de los casos las palabras estén relacionadas. Así es fácil: camino y caminó, salto y saltó, crítico y criticó.

¿Habrá más parejas de palabras con significados totalmente diferentes y que se escriban exactamente igual salvo por el acento? Si encontrás más, dejálas en los comentarios.

A pesar de martillar nuestro cerebro con las tablas durante largos años, la mayoría de nosotros sólo somos capaces de proezas de cálculo muy modestas. Quizás al 6×7 respondamos de manera automática, y seguramente podremos multiplicar por 2 sin titubear demasiado. Pero, ¿podemos decir cuánto es 28×13 sin agarrar papel y lápiz?

Shakuntala Devi nació en la India; su familia trabajaba en un circo. Desde muy pequeña empezó a mostrar habilidades extraordinarias con los números. En 1980 la sometieron a una prueba en Londres: le dieron dos números muy largos, de trece cifras cada uno, y le pidieron que los multiplicara mentalmente.

7686369774870×2465099745779

Luego de unos pocos segundos de cálculos mentales devolvió el resultado correcto.

Algunos grandes matemáticos de la historia, como Carl Friedrich Gauss y John von Neumann, tuvieron gran facilidad para hacer cuentas complejas mentalmente; sin embargo, otros matemáticos igualmente brillantes lo encontraban difícil o imposible. Por otro lado, no todos los prodigios del cálculo mental tienen habilidades especiales para la creación científica. No parece haber ninguna correlación entre el don para los cálculos mentales y la inteligencia; sin embargo, no deja de maravillarnos que alguien, sin computadora, sin siquiera papel y lápiz, nos pueda decir en un instante cuál es la raíz cuadrada de 2859682576 o cuál es la octava potencia de 79.

En siglos pasados, los calculistas mentales atraían al público interesado en ver rarezas. Viajaban de ciudad en ciudad, principalmente por Europa y Estados Unidos, haciendo exhibiciones de su inexplicable talento. El público les gritaba números; ellos los sumaban, los multiplicaban, extraían raíces; el público rugía con aprobación cuando daban la respuesta siempre correcta. Muchos descubrieron su habilidad desde pequeños; en algunos casos, la perdieron al llegar a la adultez. Los hombres de ciencia no se ponían de acuerdo en cómo explicar ese don.

Actualmente no existe tal fascinación por estos prodigios, aunque desde hace unos años se realiza un campeonato mundial de calculadoras humanas, quienes deben competir en pruebas tales como sumar diez números de diez dígitos cada uno, multiplicar dos números de ocho dígitos, o indicar en qué día de la semana cayó una fecha de los últimos cuatrocientos años.

Estas hazañas mentales están reservadas a unos pocos; sin embargo, ayudado con algunos trucos podés impresionar a tus amigos.

Que tu amigo elija en secreto un número del 1 al 100. Dale una calculadora y pedile que lo eleve al cubo, es decir, que lo multiplique por sí mismo una vez y después otra. Por ejemplo, si eligió el 57, que haga 57×57×57. A vos te tiene que dar únicamente el resultado: 185193. En unos segundos le dirás cuál era su número original.

Para poder efectuar el truco previamente tenés que memorizar algunos números. Primero, los cubos de los primeros diez números. 1 elevado al cubo es 1; 2 elevado al cubo es 8; 3 elevado al cubo es 27. 9 elevado al cubo es 729.

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

Cuando te diga el resultado, descartá por un momento las últimas tres cifras, y fijate en las demás. En nuestro ejemplo, el 185. Buscá el mayor cubo de tu lista que quepa en ese número. Es el 125, que es tanto como 5 al cubo. Entonces, la primera cifra del número que buscás es 5.

Ahora volvé a las tres últimas cifras del resultado. Para esta etapa necesitás haber memorizado otra lista. Fijate que en la lista anterior cada cubo termina en un dígito diferente. Eso se puede generalizar: si un cubo termina en 7, entonces el número original terminaba en 3. Si un cubo termina en 9, entonces el número original terminaba en 9. Para esta etapa necesitás memorizar los finales de los cubos y a qué número original corresponden.

En nuestro ejemplo, las tres cifras finales son 193. Terminan en 3, que según esta segunda lista corresponde al 7.

Uniendo ambos descubrimientos llegás a la respuesta: el número original, la raíz cúbica de 185193, es 57.

Uno de los más firmes candidatos al título de acertijo más conocido del mundo pide encontrar un nombre de varón que no tenga ninguna letra en común con el nombre Carlos.

La respuesta tradicional es Quintín. Pero los libros con nombres para bebés tienen innumerables páginas, y la imaginación de los padres es inabarcable. En el grupo de discusión sobre acertijos Snark fueron apareciendo otras respuestas válidas como Kevin, Ben, Eyén, Guy, Huenu, Inti, Nehuén, Neyén, Pehuén, Piuque o Quiney. Algunos son comunes acá, otros pueden ser vistos allá.

La idea puede extenderse a otras categorías de palabras. Por ejemplo: ¿cuál es el animal cuyo nombre no tiene ninguna letra en común con hipopótamo? Aquí encontramos dos, aunque siempre es posible que aparezcan más. Podés dejar tus hallazgos abajo, en los comentarios.

No encontramos ningún país que no tenga ninguna letra en común con Argentina. ¿Lo hay? Para México hay un puñado: Ruanda, Aruba, Sudán, Uganda. ¿Cuál es el único país del mundo que no tiene letras en común con Ecuador?

Cambiemos un poco las reglas. ¿Se pueden encontrar tres nombres de varón sin letras en común? Es decir, las letras de uno y otro nombre no pueden coincidir, aunque sí es posible que se repitan dentro de un mismo nombre. No es tan difícil; aquí encontramos a los trillizos Adán, Luis y Héctor. ¿Habrá cuatrillizos? Si los encontrás, dejá sus nombres en los comentarios.

En Sevilla hay un único barbero, que pasa el día en su negocio. Ningún sevillano tiene barba: algunos se afeitan a sí mismos, en su casa, con jabón y navaja; los demás dejan que los afeite el barbero. Podemos asegurar, entonces, que el barbero de Sevilla afeita a todos aquellos que no se afeitan a sí mismos, y sólo a esos.

El problema es: ¿quién afeita al barbero?

Si decimos que se afeita él mismo nos estamos contradiciendo, porque asegurábamos que afeita únicamente a aquellos que no se afeitan a sí mismos.

Si decimos que lo afeita otro, también nos estamos contradiciendo. No se afeita a sí mismo, y asegurábamos que todos aquellos que no se afeitan a sí mismos eran afeitados por el barbero. Por lo tanto, lo afeita otro y al mismo tiempo se afeita él mismo.

Tenemos que decir sí o no. Estamos en un callejón sin salida.

Otra presentación de la misma paradoja transcurre en una biblioteca.

La mayoría de los libros hablan de otras cosas: de escuelas de magos, de viajes submarinos, de crímenes y castigos. Pero algunos libros, en un delicado gesto autorreferente, también se mencionan a sí mismos. Por ejemplo, en la segunda parte de Don Quijote de la Mancha, capítulo II, se lee a Sancho Panza diciendo:

Anoche llegó el hijo de Bartolomé Carrasco, que viene de estudiar de Salamanca, hecho bachiller, y yéndole yo a dar la bienvenida me dijo que andaba ya en libros la historia de vuestra merced, con nombre del Ingenioso Hidalgo don Quijote de la Mancha.

Un bibliotecario escrupuloso decide hacer una lista veraz y completa de todos los libros que no se mencionan a sí mismos. Cuando termine esa monumental lista, la publicará en forma de libro. El problema es: ¿debe incluir a su propio libro en esa lista? Si no lo hace, la lista no será completa, porque faltará un título. Si lo hace, la lista no será veraz, porque incluye un libro que sí se menciona a sí mismo.

Estamos en el mismo callejón sin salida.

(La foto muestra a Jon Dyer, que se impuso la tarea de afeitar su barba de todas las maneras posibles.)

En otro tiempo, cuando los boletos de colectivo venían impresos en grandes rollos y el chofer era el encargado de cortarlos y tomar el dinero del pasaje, cada boleto llevaba un número de cinco cifras. Si la ventanilla mostraba un paisaje monótono y no había nadie con quien conversar, un pasatiempo posible era mirar con atención las cinco cifras del boleto y hacer operaciones aritméticas con ellas para lograr que el resultado sea 24. Por ejemplo, si el boleto hubiera tenido el número 31234 se puede lograr el resultado 24 con la siguiente cuenta:

3 × 12 – 4 × 3

Ahora los boletos de colectivo son muy diferentes, pero podemos aprovechar la idea para un juego de sobremesa. Tomá una baraja y formá un minimazo con los todas las cartas del 1 al 9; en total, 36 cartas. Todos los jugadores se sientan alrededor de la mesa. Luego de mezclar, en el centro de la mesa se colocan cuatro cartas boca arriba. El objetivo es hacer una cuenta que dé exactamente 24. Es obligatorio usar los cuatro valores; sólo están permitidas las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división. Por ejemplo, si hubieran aparecido los valores 3578, una cuenta posible es:

3 × 7 + 8 – 5

Como ves, no hace falta respetar el orden, y vale concatenarlos, formando un único número a partir de dos o más cifras. Cuando alguien consigue una cuenta correcta, se anota un punto; luego se retiran esas cuatro cartas de la mesa y empieza una nueva ronda. El primero que acumula una cantidad prefijada de puntos es el ganador del juego.

¿No tenés naipes? Podés usar dados. Antes de empezar decidan si conviene usar los cinco dados del cubilete o solamente cuatro.

Un hombre elegante tiene cuatro sombreros, cuatro corbatas y cuatro paraguas. ¿De cuántas maneras diferentes puede salir vestido a la calle? De 4×4×4 maneras. Una caja fuerte exige un código secreto de cuatro cifras. ¿Cuántos códigos hay? Como las cifras son diez, en total hay 10×10×10×10 códigos posibles. En Argentina, las patentes de los vehículos tienen tres letras y tres números. ¿Cuántas patentes se pueden emitir? (Este artículo de Adrián Paenza te da la respuesta.) En Chile las patentes tienen cuatro letras y dos números, pero hay ciertas restricciones. Las letras son sólo 18, para evitar las vocales y las que se parecen mucho, como la O y la Q; los números corren desde 10 hasta 99. ¿Cuántas patentes se pueden emitir en Chile?

Los hexagramas del I Ching son todas las combinaciones posibles de seis líneas enteras o quebradas. ¿Cuántos hexagramas hay? Usualmente se considera que están formados por la unión de dos trigramas, cada uno de tres líneas; algunos de estos trigramas aparecen en la bandera de Corea del Sur; todos en el logotipo de Dharma de la serie de televisión Lost.

En la abrumadora Biblioteca de Babel, de Jorge Luis Borges, hay una enorme cantidad de libros.

[...] cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página, de cuarenta renglones; cada renglón, de unas ochenta letras de color negro. [...] De esas premisas incontrovertibles dedujo que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos (número, aunque vastísimo, no infinito) o sea todo lo que es dable expresar en todos los idiomas.

Más adelante se aclara: «El número de símbolos ortográficos es veinticinco». Como ejercicio, podés intentar calcular cuántos libros hay, en total, en la biblioteca.

Según parece, a sus 21 años Mozart creó una pequeña máquina para componer valses usando un dado. Mozart compuso un puñado de compases que podían ser combinados de diferentes maneras; el dado se usaba para decidir el orden. El nombre en alemán de este divertimento es Musikalisches Würfelspiel y eran comunes en su época.

En Argentina hay monedas de 1, 5, 10, 25 y 50 centavos. También así se dividen un dólar estadounidense, un real brasileño y un riyal saudí. El euro, en cambio, usa monedas de 1, 5, 10, 20 y 50 centavos, lo mismo que el peso mexicano, el dólar australiano y el dínar tunecino. Algunos países incluyen una moneda de dos centavos —o como llamen a la centésima parte de su moneda oficial— y allí se acaban las excentricidades. No conocemos países con monedas de 7 centavos, o de 23, o de 42. Una lástima, porque eso daría pie a un montón de acertijos.

En Tamtamia del Norte sólo hay monedas de 5 y 9 centavos. Si queremos pagar 33 centavos tenemos que entregar tres monedas de 5 y dos monedas de 9. Para pagar 32 centavos tenemos que entregar una moneda de 5 y tres monedas de 9. Hay ciertas cantidades que no se pueden pagar con exactitud, sin que nos den vuelto; por ejemplo, no podemos pagar ni 16 centavos ni 28 centavos. ¿Cuál será la cantidad más grande que no se puede pagar exactamente en Tamtamia?

En Tamtamia del Este sólo hay monedas de 6 y de 14 centavos. ¿Cuál es la cantidad más grande que no se puede pagar sin esperar que nos den vuelto?

En Tamtamia del Sur las monedas tienen tres valores: 7 centavos, 11 centavos y 16 centavos. ¿Cuál es la cantidad más grande que no se puede pagar exactamente con esas tres monedas?

Finalmente, en Tamtamia del Oeste también tienen sólo dos valores, pero allí sí se acostumbra a dar vuelto. Los valores de las monedas son de 5 y de 9 centavos. Suponiendo que tanto comprador como el vendedor tienen una innumerable cantidad de monedas en sus bolsillos, ¿se puede pagar cualquier cantidad, o hay alguna que se resiste? ¿Cómo pagarías 2 centavos en Tamtamia del Oeste?

Primero planteamos un un acertijo conocido y te contamos cuál es la solución tradicional. Después planteamos otro que, aunque no lo parezca, se sostiene en una idea muy similar.

Al amanecer, un monje budista sale de su casa y camina hasta el templo que está en la cima de la montaña. Su ritmo es muy variable; a veces el terreno es escarpado y avanza con lentitud; a veces atraviesa un campo llano y se mueve más rápidamente. Al mediodía se detiene a descansar; por la tarde duerme un momento debajo de un árbol. Justo al anochecer llega al templo, donde pasa la noche meditando. Justo al amanecer sale del templo y emprende el regreso a su casa. Sigue exactamente el mismo camino que usó al subir. El ritmo de caminata también es muy variable. Justo al anochecer llega a su casa. El problema: demostrar que hay un punto del camino en el que el monje estuvo exactamente a la misma hora tanto al subir como al bajar de la montaña.

Los acertijos donde se pide «demostrar» algo son difíciles. No tenemos el recurso desesperado y salvaje de tantear, no podemos probar con números para ver qué sale, no hay lugar para la buena suerte. Además, ¿qué quiere decir «demostrar»? ¿Cuándo llegamos a una demostración confiable y contundente, cuándo estamos metiendo la pata? Como sea, te alentamos a que intentes demostrar lo que se pide en el acertijo, y que luego sigas leyendo.

La idea luminosa que resuelve el problema es superponer los dos viajes. En lugar de un solo monje suba un día y baje al siguiente, conviene imaginar que los monjes son dos y hacen el camino el mismo día: uno desde la casa hasta el templo, y otro desde el templo hasta la casa. Nadie podrá dudar que en algún momento tendrán que cruzarse, y cuando se encuentren ambos estarán en el mismo lugar y al mismo tiempo.

Te dejamos otro acertijo que tiene una sutil pero poderosa similitud con el que acabamos de ver. Pero esta vez no te contamos la solución. Si se te ocurre, escribila en los comentarios.

Sobre una varilla de un metro de longitud se colocan veinte hormigas al azar. Algunas miran a la derecha, otras miran hacia la izquierda. Todas empiezan a caminar al mismo tiempo con una velocidad de un centímetro por segundo. Cuando dos hormigas se chocan, inmediatamente ambas dan media vuelta y cada una sigue caminando pero en la dirección contraria: la que miraba hacia la derecha pasa a mirar hacia la izquierda, y al revés. Cuando una hormiga llega al extremo de la varilla, se baja y regresa a su hormiguero. ¿Cuánto tiempo pasará, como máximo, hasta que todas las hormigas hayan abandonado la varilla?

La letra T aparece junto a la letra A en muchas, muchísimas palabras de nuestro idioma; sin embargo, la letra F y la letra D no aparecen juntas en ninguna. Cada lengua favorece algunas vecindades y rechaza otras. Demos un pequeño paseo por las invisibles leyes que conectan a las letras del castellano.

Las vocales son fáciles. Nuestro idioma tiende a moverse rítmicamente, apoyándose una vez en las vocales y luego en las consonantes. Sin embargo hay algunas rarezas. Por ejemplo, hay pocas palabras con las parejas ZE y ZI, y casi todas son de claro origen extranjero. En los diccionarios suelen recomendar la versión con C; cénit en lugar de zénit, cinc en lugar de zinc. La Q tiene sus propias reglas y sólo la sigue la U.

Tampoco es difícil encontrar palabras para cada pareja posible de vocales. ¿OA? Canoa o cloaca. ¿UO? Cuota o monstruo.

Con parejas de letras formadas sólo con consonantes dejamos las avenidas iluminadas y los barrios poblados para adentrarnos en territorios desconocidos. En algunos casos, la búsqueda nos lleva a conocer palabras raras, que probablemente jamás usamos en nuestra vida. Por ejemplo, la pareja CB aparece en plecbenda, un mineral raro y complejo y en bricbarca, un barco de tres mástiles. A esta última se aplica el criterio que ideó Marcos Donnantuoni: una palabra es rara si, al buscarla en Google, los primeros resultados son diccionarios. Sin embargo, al buscar palabras donde aparezca la pareja CS encontramos dos ejemplos muy comunes. ¿Sabrás decir cuáles son?

Casos especiales son las parejas de letras gemelas. Algunas casi tienen su lugar reservado en el abecedario, como la LL y la RR. Otras son muy comunes, como la pareja EE o la pareja CC. Hay más. ¿Cuáles otras se te ocurren?

El juego de hoy no puede ser más simple. Los jugadores —deben ser una cantidad impar, por ejemplo cinco o diecisiete—eligen en secreto entre una de dos opciones. Los que hayan elegido la opción minoritaria ganan un punto. El primero en reunir cierta cantidad de puntos previamente acordada es el ganador.

Se puede practicar con monedas o con naipes. Los jugadores se ubican alrededor de la mesa, cada uno con una moneda. En secreto eligen uno de los dos lados —puede ser la cara o puede ser la cruz— y ubican la moneda con ese lado hacia arriba, ocultándola con la mano. Todos levantan sus manos al mismo tiempo y muestran qué lado eligieron; luego se hace el recuento y se adjudican los puntos. Para practicarlo con naipes, cada jugador debe recibir dos; si se usa una baraja de póker, uno rojo y uno negro. En cada ronda, eligen uno de esos dos naipes y lo ubican boca abajo sobre la mesa, para darlo vuelta y revelarlo al mismo tiempo.

Supongamos que hay siete jugadores. En la primera ronda, cinco eligen el rojo y dos eligen el negro. Los dos que eligieron el color negro son la minoría y por lo tanto ganan un punto; los otros cinco no ganan nada. ¿Qué conviene hacer en la segunda ronda? ¿Elegir negro, el color que acaba de ganar? Pero si todos piensan lo mismo, la mayoría elegirá negro, y ganarán los que elijan rojo. Entonces conviene elegir rojo, ¿no? Quizás tampoco, si todos razonan de la misma manera.

Si existiera una estrategia para elegir el color más conveniente, todos podrían seguirla, y de esa manera dejaría de ser una buena estrategia.

El juego se vuelve más divertido si se permite discutir antes de elegir una carta. Se pueden formar alianzas y hacer promesas, y también engañar y mentir; pero todo en voz alta y sin mostrar la carta que efectivamente se elige.

El hombre que calculaba es un célebre libro de juegos matemáticos. Cuenta las aventuras y andanzas de Beremir, un persa que utiliza sus extraordinarias habilidades aritméticas para resolver los varios problemas que encuentra por el camino. El libro está firmado por un tal Malba Tahan y según su prólogo fue escrito en lengua árabe hacia 1903; pero en realidad es obra del profesor brasileño Júlio César de Mello e Souza y fue escrito en portugués hacia 1940. Del capítulo 3 tomamos este problema.

Tres hermanos reciben una herencia compuesta por treinta y cinco camellos. Según la voluntad del padre, el mayor debe recibir la mitad de esos camellos, el del medio debe recibir una tercera parte, y el menor debe recibir una novena parte. El problema es que las divisiones no son exactas: la mitad de treinta y cinco es diecisiete y medio, una tercera parte es once y dos tercios, una novena parte es tre y ocho novenos de camello. Nadie quiere descuartizar camellos; nadie quiere recibir menos de lo que le corresponde; no saben cómo resolver el dilema hasta que llega Beremir.

La solución del hombre que calculaba es sorprendente: agrega su propio camello a los treinta y cinco heredados. De esta manera el total es de treinta y seis. El mayor recibe la mitad, dieciocho, más de lo que esperaba; el del medio recibe doce, más de lo que esperaba; el menor decibe cuatro. Luego del reparto sobran dos camellos: se los queda Beremir como pago por sus servicios.

El libro es de lectura muy agradable y reúne muchos problemas tradicionales de las matemáticas recreativas. Vale la pena leerlo. Las ediciones son muy imprevisibles; cada tanto se encuentra algún viejo ejemplar en las librerías de usados. Aquí lo podés hojear online.

Los hermanos se encontraban en problemas porque no se sentían capaces de dividir un camello en pedacitos. Sin embargo, en este otro problema exactamente eso es lo que pasa.

Tres hermanos reciben una herencha compuesta por varios camellos. El mayor toma la mitad más medio camello. El del medio toma la mitad de los que quedan, más medio camello. El menor toma la mitad de los que quedan, más medio camello. Sobra uno y se lo regalan a Beremir, que pasaba caminando por allí. ¿Cuántos camellos había al principio?

Martin Gardner, el que cuenta esta historia, sugiere buscar una pila abundante de fósforos y tratar de encontrar la solución mediante ensayo y error.

(La fotografía muestra una caravana de camellos cruzando el desierto. Pero mirá con atención: los camellos son las delgadas líneas blancas; las siluetas son sus sombras. Aquí la podés ver más grande.)

Bertrand Russell, a quien vemos en la imagen de aquí al lado, los llamó «verbos muy irregulares», pero a nosotros nos gusta más el nombre «conjugaciones egológicas», que le dieron en la revista Juegos para gente de mente hace muchos años. Una conjugación egológica describe un hecho similar, pero con elogiosa benevolencia cuando se refiere a uno mismo, con desconfiada distancia cuando se refiere al interlocutor, y con rechazo agraviante cuando se refiere a una tercera persona. Este ejemplo fue creado por el mismo Russell:

Yo me mantengo firme en mis convicciones.
Vos sos obstinado.
Él es terco como una mula.

Se llaman egológicas porque siguen la lógica del ego.

Yo soy prudente.
Vos nunca te arriesgás.
Él es un cobarde.

Yo me nutro de diversas fuentes.
Vos imitás a los grandes.
Él plagia.

Las dos conjugaciones previas fueron creadas por Gustavo Piñeiro y Celia Inés Sábato.

Yo soy original.
Vos sos excéntrico.
Él es un freak.

Queda claro que la idea es siempre describir una misma cosa pero con valoraciones gradualmente distintas. No se trata de encontrar conjugaciones como «yo soy bueno, él es más o menos, vos sos malo», sino más bien alguna que diga «yo soy bueno, vos sos demasiado permisivo, él no sabe hacerse respetar».

Las conjugaciones egológicas atraviesan constantemente los discursos de la vida diaria. Basta con recorrer los diarios para encontrar un mismo hecho que recibe valoraciones opuestas. Muchas veces uno mismo, inadvertidamente, se evalúa de manera muy diferente a como juzga a los demás. Tratar de detectar esas conjugaciones egológicas es un buen ejercicio, aunque tratar de inventar algunas es más divertido todavía. ¿Cuál se te ocurre a vos?

Dodgem es un juego simple pero profundo. Aunque lleva dos minutos aprender las reglas, no es tan fácil convertirse en un jugador habilidoso e implacable. Se juega sobre un tablero cuadrado de cualquier tamaño; puede servir el del ajedrez, aunque en nuestro ejemplo usamos un tablero más pequeño, de seis casillas de lado.

Los rivales ocupan lados vecinos del tablero. Cada uno mueve hacia adelante; eso, para el verde, significa ir hacia la derecha, y para el rojo significa ir hacia arriba. En su turno un jugador debe mover una de sus fichas, un paso hacia adelante o un paso hacia los costados. ¡Retroceder nunca! Pero, detalle importante: la casilla de destino debe estar vacía.

Cuando una ficha está en la última línea del tablero (recordamos: para el verde, la columna de la extrema derecha; para el rojo, la columna de arriba de todo) el jugador la puede mover hacia adelante y sacarla del tablero. Cuando una ficha sale del tablero ya no forma parte del juego.

Gana el jugador que no puede mover, sea porque ya sacó a todas sus fichas del tablero, sea porque todas sus fichas restantes están bloqueadas por las fichas del otro jugador.

Jugá unas partiditas con algún encarnizado amigo. Verás que no es para nada trivial. ¿Cuándo conviene lanzarse a la carrera y cuándo conviene gastar movidas en bloquear al rival?

El caballo es la pieza de ajedrez con el movimiento más extravagante. Cuando las demás se someten con docilidad a las direcciones sugeridas por el cuadriculado, el caballo se encabrita con rebeldía y sigue un camino inesperado. Hay varias maneras de definir su movimiento: podemos decir que se desplaza dos casillas para allá y luego una de costado o también —es lo mismo— que se desliza a la esquina opuesta de un rectángulo de dos por tres.

Hay una pregunta que surge naturalmente. Tenemos un caballo de ajedrez en una casilla cualquiera; el resto del tablero está vacío. ¿Es posible que el caballo recorra todas y cada una de las casillas, sin visitar ninguna más de una vez? Es decir, ¿puede galopar a través de todo el tablero?

La pregunta es tan vieja como el ajedrez mismo. O quizás más vieja todavía: se dice que un mítico jugador árabe de shatranj, el antecesor medieval del ajedrez, ya la había propuesto hacia el siglo IX de nuestra era. La cuestión atrajo la atención de ajedrecistas y matemáticos durante todos los siglos siguientes, que se encargaron de examinar las posibles soluciones y de agregar condiciones más difíciles.

Es tu turno de entrar en la historia. Buscá la caja con las piezas de ajedrez, desempolvá el tablero, conseguí monedas o fichas para señalar cuáles fueron las casillas ya visitadas. Quizás prefieras avanzar de a poco y empezar con un tablero de cinco por cinco o de seis por seis.

Dijimos que el caballo podía empezar en cualquier casilla y debía recorrer el tablero completo; si además exigimos que termine su travesía en la casilla de inicio estamos frente a un recorrido cerrado. Naturalmente, son más difíciles de lograr. Sin embargo, es imposible hacer un recorrido cerrado en un tablero cuadrado con un lado impar; por ejemplo, en un tablero de 5x5 o de 7x7. Hay una forma sencilla y poderosa de demostrarlo. ¿Se te ocurre cuál es?

Una forma de controlar la trayectoria es anotar el orden en que se visitan las casillas. Así, en la casilla de inicio escribís un 1, luego del salto escribís un 2, después un 3, y seguís hasta escribir el 64 en la última casilla. De esta manera el matemático Leonard Euler logró un objeto prodigioso: un recorrido por todo el tablero que, además, es un cuadrado mágico. Si sumás los números de cada fila, de cada columna y de ambas diagonales el resultado es siempre el mismo: 260.

Si en lugar de mover un caballo sobre un tablero de mandera trazás la trayectoria sobre un tablero dibujado verás que tarde o temprano, más bien temprano, el recorrido se cruza a sí mismo. Olvidemos el requisito de visitar todas las casillas. ¿Cuál es el trayecto más largo que puede hacer un caballo sobre un tablero de ajedrez sin cruzarse nunca consigo mismo? El récord actual es de 24 saltos para un tablero de 7x7 y de 35 saltos para un tablero de 8x8. ¿Podrás mejorarlos?

Los dados la hacen fácil. Para indicar un número simplemente acumula puntos. Una cara tiene un punto: es el 1. Otra cara tiene dos puntos: por supuesto, es el 2. El 3 tiene tres puntos, el cuatro tiene cuatro, y así. Sin embargo, la configuración que siguen esos puntos merece un poco de atención. Detengámonos en el cinco. Cuatro de los puntos ocupan los vértices de un cuadrado; el quinto está en el centro. Quizás te sorprenda saber que esa configuración de puntos tiene un nombre: quincunce. La palabra viene del latín; su aparición es muy variada. Puede ser divisada en la mitología celta y azteca, en la astrología y en la astronomía medieval, en el diseño que siguen los agricultores para sembrar árboles, en los tatuajes de los presos, en la planta de algunos edificios, incluso en el orden que siguen las cincuenta estrellas de la bandera de los Estados Unidos.

Hay otra configuración de puntos con nombre propio. Ordená diez puntos en un triángulo: cuatro en la fila de abajo, tres en la segunda fila, dos arriba de estos y uno en el vértice. Ahora tenés un tetractis, con una historia tan antigua y más misteriosa: parece haber sido importante para los pitagóricos y para los cabalistas, que creyeron ver en el número y la distribución de los puntos un símbolo de verdades ocultas.

¿Por qué no hay otras configuraciones de puntos con nombre? Por ejemplo, podemos volver al dado y fijarnos en el 6; esas dos prolijas filas de tres merecen un nombre especial. O quizás imaginar esta configuración de cuatro puntos: tres formando un triángulo y el cuarto en el centro. ¿Cómo se debería llamar?

¡Qué sería de las horas libres del colegio si no existiera la batalla naval! La versión que nosotros conocemos es así. Cada jugador dibuja dos tableros de 10x10 en una hoja que mantiene oculta. En uno de los tableros ubica su flota, compuesta por un barco de cuatro casillas, dos barcos de tres casillas, tres barcos de dos casillas y cuatro submarinos, que ocupan una sola casilla cada uno. Los barcos no se pueden tocar ni siquiera por los vértices. El otro tablero lo usa para registrar los disparos que hace contra la flota rival. A su turno, cada jugador anuncia una coordenada: por ejemplo, F6. Hay tres respuestas posibles: tocado, si esa casilla formaba parte de un barco; hundido, si con ese disparo terminó de ubicar todas las casillas de un barco determinado, o agua, si la casilla estaba vacía.

Quizás no sea el juego más excitante del mundo. Muchas veces se convierte en una lotería, especialmente cuando falta descubrir un solo submarino y queda un montón de mar abierto. Sin embargo, la idea es poderosa y simple, y eso nos permite inventar muchas variantes para convertirlo en un juego más desafiante. Aquí te presentamos algunas.

1. Versión multijugador. Se enfrentan tres o más, cada uno con su propia flota. El disparo afecta a todos los rivales; uno por uno deben anunciar qué consecuencia tuvo en el propio tablero, si tocado, hundido o agua. Naturalmente, es necesario ser muy prolijo y mantener un registro individual para cada adversario.

2. Tetris naval. Los barcos son siete y tienen la forma de las piezas de Tetris. En el diagrama vemos una posible ubicación de la flota. En el juego original, cuando se hace impacto en un barco es muy fácil hundirlo por completo; aquí es un poco más complicado porque las piezas son menos previsibles.

3. Batalla buscaminas. Si el disparo falla, en lugar de decir agua hay que responder cuántas casillas vecinas están ocupadas por barcos. El juego se vuelve mucho más deductivo, como el Buscaminas que suele venir instalado en algunas computadoras.

4. Tres disparos. En su turno cada jugador hace tres disparos. El rival debe responder cuántos de esos disparos dan en el blanco, pero sin aclarar cuál o cuáles son. Por ejemplo, podría decir «Dos tocados, uno en el agua», o «Un hundido, dos en el agua», o también «Los tres en el agua». Hay que ser muy cuidadoso con los disparos, y eventualmente quizás haga falta disparar varias veces sobre la misma casilla.

Queda mucho por inventar. ¿Qué variante se te ocurre a vos?

Los números naturales son infinitos: se empieza contando uno, dos, tres, cuatro y jamás se termina. No importa qué número digas, siempre se podrá decir un número mayor.

Sin embargo, cada número tiene su propio nombre. El 17 se llama diecisiete; el 823 se llama ochocientos veintitrés; el 1 se llama uno. No importa qué número digas, siempre se le podrá poner un nombre.

Es posible que haya algunas incertidumbres con los números demasiado grandes. Un millón de millones se llama billón; un millón de billones se llama trillón. La secuencia sigue cuatrillón, quintillón, sextillón, pero más allá se vuelve nebuloso. Sin embargo, que no haya nombres disponibles no quiere decir que no pueda haberlos, sino simplemente que todavía nadie tuvo la necesidad de inventarlos.

Esta capacidad de nombrar infinitos números con una cantidad muy pequeña de palabras se sostiene en la estructura modular de los nombres de los números. Hay palabras para las unidades, las decenas y las centenas; el nombre de cada número aparece mediante la combinación adecuada de esos elementos.

Y es así que podemos hacer afirmaciones asombrosamente exactas acerca de los nombres de los números, a pesar de que son infinitos y jamás podremos revisarlos en su totalidad. Aquí hay algunas.

1. Si ponemos en orden alfabético los nombres de todos los infinitos números, el primero será catorce.
2. El único número que no usa ni la vocal O ni la vocal E es el mil.
3. No hay ningún número que use las letras F, G y J. (Y tampoco las letras K, Ñ y W.)

¿Se te ocurren más?

(El dibujo es de Juan y cuando lo hizo tenía cuatro años.)

Nikolai Kultyapov es ruso. Fue agente de la KGB, la temible policía secreta soviética, y cuando se jubiló empezó a escribir novelitas policiales. Pero hace unos años publicó una extraña novelita corta llamada La isla de Olga, de unas dieciséis mil palabras. Este libro es curioso porque, en ruso, todas las palabras que lo componen empiezan con la letra O. Tiempo después decidió superar su propio récord y escribió Las aventuras del soldado de infantería Pavel Petrov, cuyas cuarenta mil palabras empiezan todas con la letra P.

No es difícil idear ejemplos breves en castellano. Por supuesto, algunas letras son más accesibles que otras. Con la L podemos escribir el comienzo de una historia de terror: «La ligera luz lunar levanta las lápidas». La letra M puede inspirar un cuento de parejas tristes. «Mientras mi marido maneja, me maquillo moviendo mis manos mustias. Mi matrimonio me molesta, murmuro.» En este video vemos al admirable Leo Masliah recintando un cuento en el que todas las palabras empiezan con E: «Esteban estaba ensimismado en el estudio. Eduviges entró exaltada. ¡Estoy enferma!, exclamó.»

Podemos enfrentar el desafío con una actitud artística y tratar de escribir un texto elegante, en el que la repetición de iniciales parezca natural y pase casi desapercibida. O bien podemos enfrentarlo con actitud deportiva y tratar de realizar hazañas: elegir una letra difícil, como la F o la T, o redactar el texto más largo posible, como hizo Nikolai Kultyapov. En cualquiera de los dos casos podés compartir el resultado en la sección de comentarios.

En la Ciudad del Vaticano hay dos Papas por kilómetro cuadrado. ¿Pero acaso el Papa no es uno solo? Sí, pero la superficie del Vaticano es de medio kilómetro cuadrado; por lo tanto el promedio de Papas por kilómetro cuadrado es de dos. Con promedios y estadísticas pueden plantearse situaciones muy paradójicas y divertidas; a veces por un abuso de exactitud, como en el caso anterior, o como en este otro, algo teñido de humor negro: la inmensa mayoría de las personas tiene una cantidad de piernas superior al promedio. A veces la rareza surge por una interpretación maliciosa y errónea de los datos. Por ejemplo:

El 30% de los accidentes de tránsito ocurre cuando el conductor está ebrio. Por lo tanto, el 70% de los accidentes de tránsito ocurre cuando el conductor está sobrio. Como consecuencia, es más seguro manejar ebrio que manejar sobrio.

Todos sabemos bien que conducir bajo los efectos del alcohol es extremadamente peligroso; pero no es sencillo desmontar el razonamiento y señalar cuál es su error. También relativo a la seguridad vial tenemos este otro argumento extravagante:

La probabilidad de tener un accidente de tránsito aumenta con el tiempo que dura el viaje en auto. Por tanto, cuanto más rápido manejes para llegar a tu destino, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

Algunos razonamientos estadísticos extraños no son más que falacias que se sostienen en una variable cuidadosamente oculta. Veamos esta historia. Un científico va a una escuela para examinar a todos los alumnos. Primero mide la altura de cada uno y luego les toma una prueba de lectura. Al analizar los datos descubre que los que mejor leen son los que miden más. ¿Esto significa que los altos son más inteligentes que los petisos? Por supuesto que no. Los altos son los que tienen más edad y naturalmente saben leer mejor; los que miden menos son más pequeños y recién están aprendiendo.

Pero la estadística a veces también nos da buenas noticias.

La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.

Aunque no alcanza la popularidad de la Generala, el Diez Mil es un juego de dados que se practica masivamente en las playas y los patios. Quizás lo conozcas. Se necesitan cinco dados; juegan dos o más. El objetivo, como podrás intuir, es ser el primero en alcanzar los diez mil puntos.

El jugador que tiene el turno agita el cubilete y tira los dados sobre la mesa. Algunos números o combinaciones le dan puntos: cada 1 suma 100 puntos; cada 5 suma 50 puntos; cada trío de números iguales suma el valor de ese número multiplicado por cien, excepto cuando se trata de un trío de unos, que vale 1000 puntos.

Después de identificar y contar los dados valiosos puede hacer dos cosas: algo prudente o algo arriesgado.

Lo prudente es anotarse directamente los puntos que haya sumado. En ese caso, termina su turno, guarda los dados en el cubilete y se los pasa al jugador siguiente.

Lo arriesgado es intentar hacer más puntos. En ese caso, separa los dados que le dan puntos y vuelve a tirar los demás. Mientras siga sumando puntos, todo está bien; pero si en una tirada no obtiene ningún punto pierde todo lo que haya acumulado en ese turno y le debe pasar los dados al jugador siguiente sin anotarse nada.

Cuando sus cinco dados ya le dan puntos, puede seguir jugando: junta los cinco, los mete en el cubilete y los vuelve a tirar sin perder el puntaje que venía acumulando. En teoría un jugador podría seguir lanzando sus dados eternamente; aunque si en alguna tirada no hace ningún punto, lo pierde todo.

Veamos un ejemplo. Es el turno de Zacarías. Tira los dados y obtiene 12256. Separa el 1, que le da 100 puntos, y el 5, que le da 50 puntos; su puntaje parcial es 150. Decide ser valiente y vuelve a tirar los otros tres dados. Tiene suerte: saca 444, un trío que le da 400 puntos; más los 150 que tenía de la tirada anterior, suma un puntaje parcial de 550. Como ya sus cinco dados tienen puntos, los mete todos en el cubilete y tira otra vez. Tiene suerte: le sale 14466. Separa el 1, que le da 100 puntos. En ese momento podría dar por finalizado su turno, anotarse 650 puntos y pasar el cubilete al jugador siguiente. Pero Zacarías coquetea con el peligro. Vuelve a tirar los otros cuatro dados. Mal, muy mal: sale 2334 y lo pierde todo. Termina su turno y pasa el cubilete sin anotarse nada.

Los acertijos y los juegos de ingenio, ¿existieron siempre? Hay testimonios muy antiguos que pueden ser entendidos como los antecedentes directos o las primeras apariciones de los enigmas ingeniosos que todavía hoy nos desvelan. Más difícil es saber si en su época eran vistos de la misma manera que como los vemos hoy; para nosotros un laberinto es apenas un entretenimiento que recorremos en un parque con arbustos o que resolvemos con la punta del lápiz en una revista, pero posiblemente fuera algo muy diferente para el cretense que debía enfrentar a su temible Minotauro o para el cristiano medieval que recorría piadosamente los laberintos trazados en las baldosas de una catedral. Sea como fuere, el ingenio tiene larga historia.

El profesor David Singmaster, de la South Bank University de Londres, inició hace varios años una cronología de los juegos de ingenio. Su primer ítem no tiene fecha: informa que en la mitología griega Palamedes es considerado el inventor de los dados, quizás durante el sitio de Troya. Y los dioses, ya se sabe, son eternos.

Entre los humanos, son los babilonios, los egipcios, los griegos y los chinos quienes comienzan esta historia. Las primeras figuras geométricas aparecen en tabletas de arcilla o piedra encontradas en la Mesopotamia y tienen más de tres mil años de antigüedad. Los primeros juegos matemáticos aparecen con el papiro Rhynd, en Egipto, que se calcula que fue confeccionado en el año 1650 antes de Cristo, y con los cuadrados mágicos, que provienen de China y datan del año 650 antes de Cristo. Las paradojas lógicas se exhiben por primera vez en las obras de Aristóteles y los estoicos. Más adelante, cuando en Occidente corren los primeros siglos de la era cristiana, a esta tradición se agregan los hindúes, los persas y los árabes.

Esta cronología pone énfasis en los juegos matemáticos. Pero los juegos de ingenio se entrelazan con muchas otras actividades humanas. Los juegos de tablero tienen su propia historia milenaria. Ya mencionamos a los laberintos y su pasado ritual; los juegos con el lenguaje son casi tan antiguos como el lenguaje mismo, y hay antiquísimos ejemplos de anagramas, palíndromos y otros malabarismos verbales. Por el contrario, hay juegos y pasatiempos de los que se sabe su fecha precisa de creación; el cubo mágico o de Rubik tiene poco más de treinta años, y el crucigrama todavía no cumplió su primer siglo.

Necesitás varios amigos sentados en ronda. Empieza cualquiera y dice «uno». El siguiente dice «dos», el otro «tres», y así siguen. Cuando llega el momento de mencionar un múltiplo de 7 o un número terminado en 7, en lugar del número que corresponda hay que decir «fantasma». El que comete un error, pierde.

Hasta aquí es un juego normal. Probablemente ya lo hayas jugado; a veces se usa en las clases de idiomas para aprender los nombres de los números en una lengua extranjera. Pero el juego tiene una pequeña vuelta diabólica.

Quien cometer un error se vuelve un fantasma y los demás participantes ya no pueden interactuar de ninguna manera con él. Se entiende por qué: un fantasma es un ser sobrenatural que está fuera del alcance de nuestro sentidos. El que habla con un fantasma también se vuelve fantasma. El que actúa como si el fantasma todavía estuviera en el juego también se vuelve fantasma. Y muy importante: no está permitido que los demás anuncien quién es fantasma y quién no, porque quien lo hace también se vuelve fantasma.

Veamos un ejemplo. Alicia dice el 20; Beatriz se equivoca y dice el número 21, cuando debería haber dicho «fantasma» porque es múltiplo de 7. Por lo tanto, ella se convierte en fantasma. Carlos debe ocupar el lugar de Beatriz y decir «fantasma», lo que ella debería haber dicho.

En la siguiente ronda, a Alicia le toca el número 29, y Beatriz, aunque está fuera del juego, quiere molestar y dice el número 30. Carlos, el siguiente en la ronda, no recuerda que Beatriz se volvió fantasma, o quizás no se dio cuenta, y entonces dice 31. ¡Error! Tendría que haberla ignorado. Por lo tanto automáticamente Carlos se vuelve fantasma. Diego, confundido, le pregunta a Carlos: «¿Pero vos no tendrías que haber dicho 30?» ¡Otro error! No se puede hablar con un fantasma. Diego también se fantasmizó. Por suerte Ester está muy atenta y dice 30, el número que corresponde.

El juego termina cuando todos se volvieron fantasmas salvo uno, y ese es el ganador. Aunque es probable que antes de eso se produzca tal confusión que prefieran empezar de nuevo.

¿Quién no jugó alguna vez al teléfono descompuesto? Los participantes se ponen en fila; el primero inventa una frase breve y la susurra en el oído del segundo, de manera que nadie más pueda escucharla. El segundo repite la frase tan exactamente como pueda en el oído del tercero. El tercero se la comunica al cuarto, el cuarto al quinto, y así. La media voz y la prisa suelen introducir ruido en la comunicación y la frase empieza a sufrir ligeras mutaciones en cada paso. Cuando el mensaje llega al otro extremo de la fila se la compara con el original: las diferencias son notorias y a veces muy cómicas.

El juego es popular en todo el mundo y en cada lugar tiene un nombre distinto. En los países de habla inglesa se lo llama «susurros chinos»; en Brasil y en Italia se lo conoce como «teléfono sin cables»; en turco, «de oreja a oreja».

A Fernando Chorny se le ocurrió aplicar la misma idea a las fotografías con cámaras digitales. Uno de los participantes actúa de fotógrafo y se aparta del grupo, por ejemplo yendo a una habitación diferente. Llama al jugador número 1, le pide que haga un gesto extravagante con la cara y le toma una foto. Luego llama al jugador número 2, le muestra la foto que acaba de tomar y le pide que imite el gesto; le saca una foto. Luego llama al jugador 3, le muestra la foto que le tomó al jugador 2, y le pide que imite ese gesto que está viendo. Así sigue hasta que todos fueron fotografiados y se reúnen a ver la secuencia de imágenes y la sucesiva distorsión de los gestos. Llamó a su juego Cámara descompuesta; aquí y aquí podemos ver los resultados de dos sesiones con grupos diferentes.

Si no tenés una cámara digital podés jugar con dibujos. Cada participante tiene una hoja de papel. El primero hace un dibujo y se lo muestra durante un instante al segundo. Luego, de memoria, el segundo debe intentar reproducirlo; cuando termina, se lo muestra al tercero por un instante, quien a su vez debe reproducirlo... Una vez que todos dibujaron lo suyo los cuelgan en la pared en orden para apreciar los absurdos cambios y las insospechadas semejanzas.

Ana y Blas juegan al Bien regular. Ana piensa un número secreto de cuatro cifras, todas diferentes. Blas tiene que descubrirlo mediante la menor cantidad de intentos.

Hace su primer intento en voz bien alta: «Tres mil quinientos dieciocho.» Ana responde: «Uno bien, dos regular». Esto quiere decir que una de las cifras sí aparece en su número secreto y en la misma posición en la que Blas la dijo (por eso está bien) mientras que dos de las cifras aparecen en su número secreto, pero en una posición diferente (por eso son regulares).

Blas piensa un momento y hace su segundo intento: «Nueve mil seiscientos cuarenta y tres». Ana responde: «Dos regulares». Ninguna de las cifras está en la posición correcta, pero hay dos que están en el lugar equivocado.

Blas sigue proponiendo números hasta que descubre el número secreto de Ana, es decir, hasta que ella esté obligada a responder «Cuatro bien». Blas puede elegir sus números al tuntún, claro, pero si razona con cuidado hay mucho para deducir.

De inmediato juegan otra partida, pero esta vez con los roles invertidos: Blas piensa un número secreto —siempre de cuatro cifras diferentes— y Ana debe tratar de descubrirlo. Después de las dos partidas, una en cada rol, gana quien haya descubierto el número en la menor cantidad de intentos.

El juego es comercializado con el nombre Mastermind, aunque tiene pequeñas diferencias: se usan bolillas de colores diferentes, y en el código secreto está permitido repetir colores. Se pueden inventar muchas variantes. Por ejemplo, que haya que descubrir no un número ni un código de colores, sino una palabra de nuestro idioma; para jugarlo hace falta no sólo una lógica poderosa, sino también un gran dominio del vocabulario.