Teseo entró al laberinto desenrollando el ovillo de hilo que le dio Ariadna; luego de matar al Minotauro, recogió el hilo que había ido dejando en su camino, y así encontró la salida.

Nosotros no tenemos una Ariadna salvadora y si estamos en un laberinto tenemos que idear otras maneras de encontrar la salida.

La instrucción más famosa para salir de un laberinto se reduce a una sola frase: apoyá tu mano derecha sobre una de las paredes y avanzá sin despegarla nunca. También funciona con la mano izquierda. Tarde o temprano llegarás a la salida; más bien tarde, porque este procedimiento te obliga a recorrer casi todo el trazado del laberinto. Además de su evidente falta de economía tiene otra objeción: puede fallar si la salida no está en el borde del laberinto. (En algunos casos está en el centro y una pasarela que nos lleva al exterior.)

El matemático francés Gaston Tarry ideó un procedimiento mucho más complejo pero también más preciso y de aplicación más amplia. Cada vez que entramos en un pasadizo, dejamos dos marcas al comienzo. Cuando llegamos a una bifurcación nueva dejamos una marca en el pasadizo que nos llevó hasta allí; en cambio, si es una bifurcación que ya habíamos visitado antes, dejamos tres marcas. Cuando lleguemos a una bifurcación tenemos que continuar por los pasadizos que no tengan ninguna marca o los que tengan una sola.

Los laberintos en jardines y parques de diversiones, donde uno mismo está rodeado y perdido, son más difíciles. Si el laberinto está dibujado sobre un papel hay otros procedimientos; por ejemplo, aquel que empieza por rellenar todos los callejones sin salida. Homero cuenta un truco —devastador en su sencillez— para encontrar la salida de un laberinto usando el Paint que suele venir en tu computadora.

Después de la muerte del Minotauro, en el mismo laberinto de Teseo y su ovillo fueron encerrados Dédado e Ícaro. Ellos encontraron otra manera de resolverlo: construyeron alas de cera y salieron por arriba.

En la segunda película de Piratas del Caribe, Will Turner necesita encontrar una llave. Para saber dónde está escondida, desafía al capitán Davy Jones a una partida de un extraño juego de dados.

El juego existe y podés jugarlo aunque no estés en la cubierta de un barco pirata. Tiene varios nombres: Liar's dice en inglés, Dudo en castellano. Pueden participar dos, tres, cuatro personas, quizás más, aunque con muchas se vuelve lento. Cada una necesita cinco dados y un cubilete.

Al mismo tiempo, todos agitan sus dados y los vuelcan sobre la mesa, cuidando que queden ocultos con el cubilete para nadie pueda ver qué números salieron. Con cautela y en secreto, cada jugador mira qué números le tocaron a él. No sabe nada de los números de los demás.

Después empiezan las apuestas. El primer jugador dice un número del uno al seis y una cantidad. Por ejemplo, «dos cuatros». De esta manera está apostando que sobre la mesa hay por lo menos dos dados que tienen el número cuatro, contando todos los dados, los suyos y los de los demás. ¿Pero cómo puede saberlo, si solamente ve sus propios dados? Ahí está la gracia del juego.

El siguiente jugador en la ronda tiene dos opciones: puede subir la apuesta o desconfiar de la apuesta anterior.

Para subir la apuesta tiene que elegir un número mayor o mantener el número pero aumentar la cantidad de dados. En nuestro ejemplo podría decir «Dos cincos» o bien «Seis cuatros».

Si decide desconfiar, todos los jugadores levantan sus cubiletes y revelan los dados que tienen. Si la apuesta resultó correcta y efectivamente se reúne la cantidad de dados indicada (o más) el que desconfió pierde. Si la apuesta no es correcta, pierde el que la hizo.

Al que pierde se le retira un dado. Después se juega otra ronda con exactamente las mismas reglas. Cuando un jugador se queda sin dados ya no puede jugar más y se levanta de la mesa; así se sigue hasta que solamente queda un jugador.

Una variante más estratégica y divertida consiste en que los unos cuenten como comodines. Si sobre la mesa hay cinco cuatros y dos unos, entonces la apuesta «Seis cuatros» es correcta: los unos cuentan como cuatros.

El tablero de ajedrez normalmente está ocupado por las seis piezas que conocemos: el rey, la dama, el alfil, el caballo y la torre. Pero a lo largo de los siglos los aficionados inquietos se preguntaron: ¿por qué esas y no otras? Las piezas de fantasía a veces son usadas en partidas y a veces sólo en problemas; aquí te presentamos algunas.

Podemos describir el movimiento del caballo de esta manera: se desplaza una casilla hacia un lado, gira en ángulo recto y entonces se desplaza dos casillas, pasando por encima de piezas propias y ajenas. Su salto puede describirse como (1,2). Si cambiamos esos valores tenemos toda una nueva tropilla. La jirafa tiene un salto (1, 4): se desplaza una casilla hacia un lado, gira en ángulo recto y después se desplaza cuatro casillas. El movimiento de la cebra es (2,3), mientras que el antílope mueve (3,4) y el del flamenco es (1,6). Saltos más amplios no son tan útiles, porque se chocarían con el borde del tablero demasiado fácilmente.

La amazona mueve como reina y caballo. El centauro como rey y caballo. El dragón como peón y caballo. El canciller como torre y caballo. La princesa mueve como alfil y caballo. ¿Cómo se llama la pieza que mueve como alfil y torre?

Quizás bajo la inspiración del peón, que mueve de una manera y captura de otra, existe una amplia familia de piezas que mueven de una manera y capturan de otra. Por ejemplo, podría mover como alfil y capturar como caballo, o mover como torre y capturar como rey.

El huérfano no tiene movimiento por sí mismo, pero es capaz de imitar el movimiento de la pieza rival que lo esté atacando en ese momento. Si es atacado por un alfil, entonces puede mover como alfil. Si es atacado por un alfil y un caballo, puede mover como cualquiera de los dos. Es una pieza débil y poderosa a la vez. El joker puede imitar a la última pieza del rival, no importa dónde esté. Si el rival movió su caballo, entonces el imitador puede mover como caballo.

El tablero sigue siendo amplio y generoso. Todavía hay muchas piezas que se pueden inventar. ¿Cuál es la tuya?

¿Qué fue primero: el huevo o la gallina? Esta vieja broma infantil es imposible de desenredar porque no podemos encontrarle la punta: todo huevo es puesto por una gallina, toda gallina nace de un huevo. Para tener un huevo, antes necesitamos una gallina, y para tener una gallina, antes necesitamos un huevo. Estamos atrapados en un círculo.

Es fácil toparse con ejemplos de razonamientos circulares en las conversaciones y las lecturas de todos los días. Nuestra pregunta del huevo y la gallina tiene dos pasos; si tuviera más podría más difícil de detectar a simple vista, pero sería igual de inválida y estéril.

¿Por qué está enfermo?
Porque no come.
¿Por qué no come?
Porque está débil.
¿Por qué está débil?
Porque está enfermo

Y volvimos al inicio sin haber explicado nada. Este error puede aparecer en casi cualquier discusión y ser casi convincente.

Las personas distinguidas no juegan al fútbol.
Las personas que no juegan al fútbol son distinguidas.

Por eso algunos viejos polemistas hacen una petición de principio. Con eso están diciendo que el argumento de su adversario es circular y para dejar de dar vueltas una y otra vez es necesario fijar un principio que permita avanzar. El ouroboros con que ilustramos este artículo representa esta circularidad viciosa: la serpiente empieza por morderse la cola, y luego da un mordisco más, y otro, y otro más, hasta que se devora a sí misma y desaparece por completo.

Las contribuciones al acervo de los juegos lingüísticos provienen de los lugares más inesperados. Y muchas veces, muy a pesar de sus autores. Samuel Goldwyn es la G en MGM, el gigantesco estudio cinematográfico de Hollywood. (Quizás recuerdes el león rugiente con el que comienza cada film de ese estudio.) Samuel Godwyn es muy recordado y reconocido por las películas que produjo, pero también por sus frases: espontáneas, vehementes, absurdas, que insisten en contradecirse a sí mismas. Aquí tenés una pequeña antología.

• Cualquiera que va a un psiquiatra debería hacerse ver de la cabeza.
• Yo creo que nadie debe escribir su autobiografía hasta que no está muerto.
• Un contrato verbal vale menos que el papel en que está escrito.
• Un hospital no es un buen lugar para estar enfermo.
• Nunca hagas pronósticos, especialmente acerca del futuro.
• Te lo digo en dos palabras: ¡imposible!
• Señores, inclúyanme afuera.
• Todo lo que le puedo dar es un definitivo «quizás».
• Es absolutamente imposible, pero tiene sus posibilidades.
• Yo nunca me pongo un par de zapatos hasta no haberlos usado al menos cinco años.
• ¡Si Roosevelt estuviese vivo se removería en su tumba!

Muchas de estas frases le son adjudicadas falsamente: se sabe que él no las dijo. Sin embargo, poco importa: en este ludológico sentido, Samuel Goldwyn poco a poco deja de ser una persona de carne y hueso, y pasa a convertirse en un género literario.

Harry Potter es aprendiz de mago, es el enemigo mortal de Lord Voldemort, es experto jugador de quidditch y es un personaje literario. Pero Harry Potter también es aficionado a los juegos de ingenio.

En el primer libro, Harry Potter y la piedra filosofal, hay un espejo que no refleja a la persona que está delante, sino otras cosas. ¿Qué cosas? En el marco, con letras relucientes, está escrito:

Oesed lenoz aro cut edon isara cut se onotse

¿Qué efectos produce este espejo mágico? ¿Qué pasaría si en el marco estuviera escrito un palíndromo?

En Harry Potter y el cáliz de fuego, la prueba final consiste en recorrer un laberinto lleno de extrañas criaturas. En un pasillo Harry se encuentra con la Esfinge, que naturalmente le plantea un enigma:

Si te lo hiciera, te desgarraría con mis zarpas,
pero eso sólo ocurrirá si no lo captas.
Y no es fácil la respuesta de esta adivinanza,
porque está lejana, en tierras de bonanza,
donde empieza la región de las montañas de arena
y acaba la de los toros, la sangre, el mar y la verbena.
Y ahora contesta, tú, que has venido a jugar:
¿a qué animal no te gustaría besar?

¿Cuál es la respuesta al enigma?

En Harry Potter y la cámara secreta hay un anagrama que no revelaremos porque es importante para la trama; baste decir que uno de los personajes de la historia se llama Ryddle. (En inglés, riddle significa «acertijo».)

Y en varias novelas Harry y su amigo Ron juegan al ajedrez mágico. Es igual al común, se dice, «salvo que las piezas estaban vivas, lo que lo hacía muy parecido a dirigir a un ejército en una batalla». Y si se dan cuenta de que uno es un novato, la piezas discuten las movidas: «No me envíes a mí. ¿No ves el caballo? Muévelo a él, podemos permitirnos perderlo».

Después de un cataclismo terrible —un mosquito se posó sobre la barra espaciadora e intentaste matarlo con un compás— tres letras de tu teclado no funcionan bien: la K, la W y la Ñ. En nuestro idioma son letras raras, por lo que podrías seguir escribiendo y conversando casi normalmente y nadie se daría cuenta. Quizás aparecería algún problemita si te llamás Walter o si solés discutir sobre cañones o kimonos; en algunos casos podés buscar sinónimos, y llamar «muchachos» o «infantes» a los niños.

Después de un accidente trágico —volcaste un poco de gaseosa— otras tres teclas dejaron de funcionar: la B, la N y la I. Esto se complica. No podés escribir «¿Vamos a jugar al fútbol?» y tenés que reemplazarlo por «¿Vamos a jugar a la pelota?». Nada grave, pero incómodo. No podés mencionar a junio ni a julio; recién a agosto. Si tu novia se llama Beatriz o tu novio se llama Martín es urgente buscarle un apodo cariñoso para disimular el problema.

Después de una catástrofe calamitosa —diste un puñetazo colérico cuando un corte de luz arruinó tu trabajo de horas— en tu teclado funcionan sólo cuatro letras: la E, la R, la S y la T. ¿Podés escribir algo todavía? Sí, pero poco. Algunas palabras sueltas: tres, Ester, estrés, setter, retrete, test. ¿Cuál es la más larga que podés escribir sólo con esas letras? Nuestro récord: terrestres.

Si las únicas letras disponibles fueran la A, la R y la S podrías escribir asar, rara, Sara. ¿Y la más larga cuál es? Nuestro récord queda en arrasarás. El teclado accidentado es un buen desafío para jugar con las palabras y manipular letras. ¿Cuántas palabras podés escribir solamente usando tales y cuales letras, por ejemplo la O, la E y la R? ¿Cuál es la más larga de todas?

Puede hacerse más prolijo. Antes dijimos que con las letras de TRES se puede formar terrestres. ¿Cuál es la palabra más larga que se puede formar con las letras de CUATRO? ¿Y de CINCO? No importa si una letra se repite o si aparece sólo una vez; en cualquier caso puede utilizarse la cantidad de veces que querramos.

Este mecanismo es fértil para ejercicios literarios interesantes. Si tu novia se llama Beatriz, podés redactar un largo texto elogioso y enamorado usando sólo las letras de su nombre: la B, la E, la A, etc. Y por qué no escribir un poema sobre la NOSTALGIA usando solamente esas letras, o intentar describir con exactitud el funcionamiento del TELEVISOR o los paisajes de ARGENTINA.

El ajedrez aparece con mucha frecuencia en el cine. Cada vez que se quiere presentar la inteligencia superior de un personaje se lo muestra jugando al ajedrez. Ocurre en Fenómeno, donde John Travolta hace el papel de un superdotado, y en Una mente brillante, con Russell Crowe en el papel de un premio Nobel emocionalmente inestable. En Blade Runner, Rutger Hauer es un androide que vence a un hombre con toda facilidad: esa facilidad pasmosa hace evidente su carácter no humano.

Otras veces el ajedrez es sólo una excusa para reunir a dos protagonistas y sostener visualmente un diálogo extenso. Así, en el cine juegan al ajedrez Julia Roberts y Richard Gere en Mujer bonita, Humphrey Bogart en Casablanca y Chewbacca y los robots en una de las películas de la serie La Guerra de las Galaxias. Una de las escenas de ajedrez más famosas de la historia del cine es la que se muestra en El séptimo sello, de Ingmar Bergman, donde el protagonista juega al ajedrez con la Muerte.

Sólo en algunas pocas películas el ajedrez es usado argumentalmente. Una de ellas es La defensa Luzhin, protagonizada por John Turturro y basada en una novela de Vladimir Nabokov. Aquí aparece otro lugar común: un gran genio de ajedrez puede ser socialmente inepto y emotivamente infantil. En otra, La tabla de Flandes, basada en una novela de Arturo Pérez Reverte, se recurre a un lugar común diferente: el ajedrez como espejo de la vida, los movimientos en el tablero como reflejo de lo que ocurre en el mundo.

A veces, si la película es fantástica el ajedrez no es el de siempre. En Star Trek el señor Spock es experto en un vistoso ajedrez tridimensional. En las películas de Harry Potter hay un ajedrez con piezas encantadas, que hablan, gesticulan, se resisten y suplican.

En la imagen vemos a Xavier jugando al ajedrez con Magneto en una escena de la primera película de la serie X Men. Este catálogo reúne todas las apariciones del ajedrez en películas con una obsesión admirable, desde 1900 hasta la actualidad.

¿Qué es el infinito? ¿Un número? ¿Un número extraordinariamente grande? No. Es algo intrínsecamente diferente a noventa y siete o a mil quinientos catorce: es un concepto que se aplica a conjuntos de números, pero radicalmente diferente a los propios números.

Para que vayas vislumbrando sus complejidades te ofrecemos un trabajo de conserje de hotel. Se trata de un hotel muy singular: tiene infinitas habitaciones, que en este momento están todas ocupadas. En eso llega un nuevo pasajero. Vos podrías pensar: si todas las infinitas habitaciones están ocupadas, entonces no hay ningún lugar libre, y este pasajero no puede alojarse en ninguna parte.

Un gran error. Es muy fácil dejar disponible una habitación de tu hotel infinito. Pasá al ocupante de la habitación 1 a la 2; al de la habitación 2, pasalo a la habitación 3; al que estaba en la 3 pasalo en la habitación 4, y así con todos los infinitos huéspedes. De este modo, voilà, la habitación 1 queda vacía y allí puede ubicarse cómodamente el nuevo pasajero.

Esto no es todo. El hotel está otra vez completo; pero llegan ahora no uno, sino infinitos nuevos pasajeros. ¿Cómo encontrar infinitas habitaciones libres? Sencillísimo. Pasá al ocupante de la habitación 1 a la habitación 2; al de la 2, pasálo a la número 4; al de la habitación 3, pasáloa la número 6, y así con todos. De este modo quedan ocupadas solamente las habitaciones con número par, y todas las impares, que son infinitas, están vacías.

Este extraño hotel fue creado por el gran matemático y lógico David Hilbert para ilustrar las rarezas tan poco intuitivas de la idea de infinito.

En la fabulosa Ciclopedia que Douglas Wright nos ofrece aquí en TamTam suelen aparecer palabras valija. Así tenemos al astropófago, el monstruo cósmico que a diferencia del antropófago no devora personas sino astros, la fotografea, la fotografía de alguien feo, el pizzapapeles, una porción de pizza que sirve como pisapapeles, y la videocafetera, para tomar café mientras vemos una película.

Como ves, el recurso consiste en tomar dos palabras existentes, como astro y antropófago, y fusionarlas convenientemente para dejar formada una nueva. Y una vez que tenemos la palabra sólo nos queda tratar de entender qué puede querer decir.

La idea de las palabras valija fue introducida por Lewis Carroll en su libro A través del espejo; él usa una palabra en francés, portmanteau, que era un especie de valija típica del siglo XIX, con dos compartimientos cubiertos mediante una única tapa. Esa idea de «dos haciendo uno» es la que pretende rescatar con el nombre. A veces son llamadas también palabras centauro, donde se mantiene la idea de dos —un hombre, un caballo— haciendo uno.

Algunas palabras valija se usan el el lenguaje de todos los los días. Por ejemplo portuñol, ese idioma híbrido entre portugués y español que se habla especialmente en la frontera. El smog surgió como palabra valija, pero en inglés: una combinación entre smoke (humo) y fog (niebla).

Pero lo más divertido de las palabras valija es inventarlas. En la colección de Marcos Donnantuoni encontramos el concursi (el concurso sobre un tema cursi) y el resto fácil (un resto fósil que es fácil de encontrar). En el voluminoso wiki específicamente dedicado dedicado al asunto por Nacho Campínez están la calamitad (o medio desastre) y la clorofilia (o la afición desmedida por el cloro). El humorista español José Luis Coll recopiló sus inventos en un libro, donde podemos leer ejemplos como cautomovilista (o conductor precavido) y atormentir (hacer sufrir con la mentira).

El universo es un cuadriculado infinito en todas direcciones. Cada casilla tiene ocho casillas vecinas, todas las que están pegadas a ella por los lados y por los vértices, y dos estados: o bien aloja a una célula o bien está vacía. El tiempo se mueve por turnos. En cada turno nacen o mueren células según lo que ocurra en su vecindad:

1. Si una casilla vacía está rodeada por exactamente tres células, en el siguiente turno allí nace una célula.
2. Si una célula tiene a su alrededor dos o tres células, entonces sobrevive en el siguiente turno.
3. En cualquier otro caso muere, sea por soledad, sea por superpoblación.

Estas son las reglas de Vida, creado por el matemático inglés John H. Conway, un extraño e hipnótico juego para cero jugadores. ¿Cero jugadores? Claro: una vez que se establece una configuración inicial de células sobre el cuadriculado, las reglas lo hacen todo solas, y la colonia de células crece, se desarrolla, se estanca o muere por sí misma, sin intervención de nadie más.

Es momento de que lo pruebes un poco. Este applet te permite hacer algunos experimentos. (Tiene el pequeño problema de que su cuadriculado no es en verdad infinito, pero podemos obviar eso por ahora.) Empezá con unas pocas células; primero las marcás con el mouse sobre las casillas y luego hacés clic en Start. Podés modificar a tu gusto el zoom y la velocidad del contador de tiempo.

Aquí al lado te mostramos cuatro organismos posibles. Una línea horizontal de tres células se ubica vertical en el siguiente turno, para luego ponerse de nuevo horizontal, y después otra vez vertical y así eternamente. (Cuando te canses, hacé clic en Stop.) ¿Ocurrirá lo mismo con dos líneas de tres células? No, porque están muy cerca y unas influyen en las otras. Los otros dos organismos parecen casi iguales, pero sin embargo su desarrollo es completamente diferente. Una de las rarezas del juego es que resulta muy difícil predecir el comportamiento de un organismo: los pequeños detalles pueden cambiarlo todo.

Más adelante podrás diseñar organismos más complicados. Algunos se desplazan eternamente; otros crecen rápido y luego se extinguen en un instante; otros se mantienen estables y no cambian nunca. Los aficionados los bautizan con nombres muy pintorescos: deslizadores, pistolas, rastrillos, sapos o matusalenes.

El nim es un juego simple. Necesitás un montón de monedas y un rival. Las monedas se ubican sobre la mesa, en filas de cualquier longitud. El rival se ubica enfrente tuyo. Por turnos, tu rival y vos retiran la cantidad de monedas que deseen, con la única condición de que todas deben estar en una sola fila. Gana quien retira la última moneda.

En la figura vemos el inicio de una partida. Las filas tienen tres, cuatro, dos y tres monedas. En su primera jugada, tu rival quita una moneda de la fila inferior. Cuando es tu turno, quitás todas las monedas de la segunda fila. Ahora le toca a tu rival, que podría, por ejemplo, quitar dos monedas de la primera fila, o una moneda de la fila de abajo.

Como dijimos, al principio de la partida las filas pueden tener cualquier cantidad de monedas, pero si sos amante del orden y la simetría podés decidir que esa posición inicial sea siempre idéntica: las filas pueden tener la misma cantidad de monedas o formar una escalerita de longitudes uno, dos, tres, cuatro…

Una variante muy habitual pone límites a las monedas que se pueden retirar en un turno. Digamos: no más que tres. Naturalmente, si en tu alcancía no encontrás monedas tenés permiso para usar fósforos, botones o granos de maíz. Como en el juego no hay movimientos, incluso se puede jugar con lápiz y papel, dibujando círculos en fila que en cada turno son tachados por uno y otro.

Como en muchos otros juegos de tablero o de cartas, también existe la versión misère o «el que pierde gana». En esta versión, el que retira la última ficha pierde.

Bajo alguna de sus muchas formas, el Nim es jugado desde tiempos remotos. Existe una estrategia eficaz que permite ganar siempre; aunque no es para nada trivial, quizás puedas descubrirla por vos mismo.

El tutti frutti no será una novedad para vos. (Según la Wikipedia, en algunos lugares es conocido con los nombres de bachillerato o alto el fuego.) Primero los participantes deciden un puñado de categorías: animales, músicos, países o ciudades, nombres de pila; seis o siete suelen ser suficientes. Después empieza el juego propiamente dicho. Se elige al azar una letra (normalmente uno de los jugadores recita mentalmente el abecedario hasta que otro lo detiene con un tajante "¡Basta!") y cada uno debe escribir en su propia hoja un elemento de aquellas categorías que empiece con la letra elegida. Animal: mandril. Músicos: Madonna. Países: Marruecos. Nombres de pila: Micaela. Cinco puntos por cada respuesta que otro también haya escrito, diez puntos por cada respuesta única, cero puntos por un casillero vacío o un error. Se juega hasta completar la cantidad prefijada de rondas, hasta que termine la hora libre, hasta que pare de llover.

Una manera de entrenarse para ganar al tutti frutti es preparar listas que recorran todo el alfabeto siguiendo una categoría muy precisa. Por ejemplo, para la categoría frutas: ananá, banana, cereza, durazno... ¿qué fruta empieza con E? Es un buen pasatiempo para el adormecido camino a la escuela o la aburrida cola del supermercado. Ciudades: Asunción, Budapest, Caracas, Dublín, Estambul... Colores: azul, bermellón, celeste, dorado, esmeralda, fucsia, gris...

Quizás entonces te atrape la pasión alfabética y no puedas dejar de armar listas para toda ocasión de tu vida. Podrías organizar el menú mensual: el día 1 comés arroz, ajíes, albóndigas, alcauciles y agua; el día 2 te servís bifes, bananas, bizcochos y batatas; para el tercer día tocan churros, café, cebollas y consomé. Es posible que el día de la X tengas un poco de hambre.

Si te gusta el cine podés alquilar Amarcord, Barbarella, Casablanca, Daredevil... en ese orden. Si sos un donjuán, buscar una novia para cada letra del alfabeto («Ah, qué lástima que tu nombre sea Jimena, con jota»). Un grupo de aficionados a los juegos de tablero que se reúne cada tanto en la ciudad de Zaragoza elige los juegos de cada reunión respetando el abecedario: el mes pasado fue la I, hace unos días fue el turno de la J.

¿Cuál es la palabra más larga del castellano? La respuesta es un rotundo depende. Primero deberíamos decidir qué palabras consideríamos válidas para esta competencia.

En el diccionario de la Real Academia Española la palabra más larga es electroencefalografista, que definen con mucha amabilidad como «Persona especializada en electroencefalografía». Es la única con veintitrés letras. Si sólo aceptamos palabras que aparezcan en ese diccionario, ahí tenemos a la ganadora indiscutible.

Pero podríamos admitir otros diccionarios; nuestra lengua tiene muchos y muy buenos. ¿Electroencefalografista conserva el trofeo? ¿Hay otra todavía más larga? No lo sabemos. Si hacés algún descubrimiento, dejalo en los comentarios.

Alguien podría argumentar que el diccionario no incluye todas las palabras existentes. Normalmente no tiene en cuenta los prefijos o sufijos (como los adverbios terminados en mente) o los plurales. La palabra manzanas no aparece en ningún diccionario (solamente manzana) y nadie dudaría de que es una palabra legítima. La palabra más larga podría ser entonces electroencefalografistas. Pero si admitimos cualquiera de estas variaciones nos adentramos en un terreno peligroso, donde las palabras se manipulan sin escrúpulos hasta crear un monstruo verbal inexistente. ¿Por qué no antielectroencefalografistas? ¿O contraelectroencefalografistamente? De esta manera, muchos sostienen que la palabra más larga del castellano es anticonstitucionalísimamente o alguna aberración por el estilo.

También está el riesgo de la guerra química. Las disciplinas científicas y técnicas acostumbran a usar palabras compuestas para nombrar herramientas o sustancias muy específicas. Por ejemplo, el ácido desoxirribonucleico, que afortunadamente conocemos por la sigla ADN. ¿Deberíamos tenerlas en cuenta? Tampoco parece razonable: nos veríamos inundados por palabras imposibles de pronunciar e imposibles de verificar.

Para decir cuál es la palabra más larga del castellano primero tenemos que en dónde buscar. Además de revisar los diccionarios podemos darle un vistazo a la obra de algún escritor o revisar los archivos de tal o cual diario. ¿Cuál es la palabra más larga jamás escrita por Jorge Luis Borges? ¿Cuál es la más larga que aparece en Facundo, de Sarmiento? ¿Cuál es la más larga publicada jamás en el diario El Heraldo de Chañar Ladeado?

En la foto vemos el cartel de la estación de tren en un pequeño pueblito de Gales, cuyo nombre tiene 58 letras; es tan largo que no entra en la foto.

En las góndolas del supermercado, en los estantes del almacén o en la alacena de tu cocina podés ver la lata del polvo para hornear Royal. Fijate en ella con mucha atención. En el centro de la lata hay un dibujo de esa misma lata de polvo para hornear, aunque, por supuesto, más pequeña. Esta lata dibujada reproduce fielmente la lata original, por lo que adentro suyo también hay un pequeño dibujo de una lata de polvo para hornear. Adentro de esta lata que está adentro de una lata que está adentro de una lata hay otra más, y adentro de esa, otra, y si tu mirada fuera infinitamente poderosa, podrías ver infinitas latas cada vez más y más diminutas.

Droste es una marca holandesa de cacao en polvo. Su envase metálico tradicional muestra a una enfermera decimonónica sosteniendo una bandeja de plata; sobre esta bandeja hay una taza humeante y un envase de cacao en polvo Droste. En este envase, naturalmente, se puede ver a la enfermera, a la bandeja de plata y al envase de Droste, donde a su vez se puede ver… Ya entendés la idea.

El efecto Droste, entre nosotros el efecto Polvo Royal, es el de la recursión infinita de una imagen.

No es raro encontrar este artilugio visual en anuncios publicitarios o en revistas. Por ejemplo, en la tapa de una revista aparece un famoso sosteniendo una revista. Esa revista es exactamente la misma que vos estás mirando, por lo que en su tapa aparece él mismo sosteniendo una revista. A su vez, en esa revista aparece él sosteniendo una revista…

El gran ilustrador M. C. Escher se aprovechó de esta perplejidad visual para varias de sus obras. Inspirados en su ejemplo y en las facilidades de la manipulación digital de imágenes, muchos aprendieron a componer imágenes infinitamente recursivas; estas están muy logradas. Para que el efecto sea más impresionante, algunos le agregan animación, y así te sumergís sin descanso en una imagen que nunca termina.

Hoy, 14 de marzo, en colegios y universidades de Estados Unidos se celebra el día de pi. Sucede que allí tienen la costumbre de anotar los meses antes que los días, por lo que escriben la fecha de hoy como 3/14. Si recordás qué es pi te resultará evidente entender por qué fue elegido este día. (Que además sea la fecha de cumpleaños de Albert Einstein es un encanto añadido.)

En todo el resto del mundo, las fechas se escriben mencionando primero el día y luego el mes. Como nuestro año tiene apenas doce meses, para nosotros es imposible festejar el día de pi el 3 de docembre. ¿Qué hacer entonces? Por ejemplo, podríamos dejar la celebración para el 22 de julio, fecha que escribimos 22/7; vista como fracción, resulta una muy buena aproximación a pi —de hecho, fue la mejor aproximación que se conoció durante muchos siglos.

Aunque pi tiene mucha más prensa —mereció películas, monumentos y novelas— hay otros números famosos entre los matemáticos que podrían tener una celebración similar. Siguiendo estrictamente la idea, el día de e sería el 19 de julio, porque 19/7 está muy cerca de 2,717... y el día de la razón áurea el 13 de agosto.

Una idea excéntrica atrae otras. Profesores de química de Estados Unidos celebran el día del mol el 23 de octubre a las 6:02 horas. El día de la raíz cuadrada se festeja cada vez que el día y el mes son raíces cuadradas exactas de las últimas cifras del año; el próximo será el 3 de marzo del año 2009. El cuatro de mayo del año pasado, poco después de la una de la mañana, hubo un instante que se escribió usando números prolijamente consecutivos: 01:02:03 04/05/06. Hace un tiempo se celebró el día de la simetría, exactamente a las ocho y dos minutos de la noche del 20 de febrero del 2002. ¿Por qué detenerse aquí? El calendario espera que festejes otros días estrambóticos.

Entre la multitud infinita de números anónimos y desconocidos, algunos logran destacarse y construir una personalidad distinta.

Ninguno de nosotros permanecerá indiferente ante el 666. Los números redondos, como el 15000, o capicúas, como el 15051, se destacan del resto como si tuvieran luz propia. Algunos números se hacen famosos por estar asociados a productos o marcas: el 747 no era nada antes de Boeing, mientras que para cierta generación la 303 será por siempre una lapicera estilográfica y el 600 siempre el Fitito. Dos casos llamativos son 1984 y 2001: se volvieron diferentes a los demás a partir de las respectivas novelas de George Orwell y Arthur C. Clarke. También a través del espectáculo destacan el 007, el famoso James Bond, y los números 86 y 99, de los agentes secretos Maxwell Smart y su novia.

Una persona con espíritu matemático puede encontrar notables los números 144, 81, 27 o 1024. (Son, respectivamente, el cuadrado de 12, el cuadrado de 9, el cubo de 3 y la potencia décima de 2.) Algunos requieren un ojo más entrenado y quizás un par de títulos universitarios: el 65535 es un número de Mersenne, y el 9814072356 es el mayor número cuadrado que usa las diez cifras sin repetir.

Parece que tenemos que desdecirnos: todos los números parecen tener alguna singularidad; no hay números anónimos y desconocidos. Un señor se dedicó a investigar y recopilar cuál es la característica especial de cada número desde cero. Aunque algunas son francamente estrambóticas (por ejemplo, 34 es el número más pequeño con la propiedad de que él y sus vecinos tienen la misma cantidad de divisores) tenemos que admirar su paciencia y empecinamiento.

¿Y entonces? ¿Todos los números son interesantes por algún motivo? Aquella lista cubre minuciosamente cada número... hasta el 226. Allí sólo hay signos de pregunta. ¿El 226 es el primero número que no tiene ninguna característica especial? Entonces podemos anunciar una paradoja: lo que tiene de especial el 226 es que resulta el primer número sin nada en especial.

Estás en un concurso de televisión. Frente a vos hay tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un gran premio: un auto deportivo, un cofre lleno de dinero, unas vacaciones en el Caribe. Detrás de las otras dos no hay nada.

El conductor del programa te pide que elijas una de las puertas. Vos las mirás y son todas más o menos iguales. Un poco al tuntún te parás frente a una de ellas.

Suena la música, giran las luces, y el conductor del programa abre una de las otras dos puertas, donde sabe que no se oculta nada. Todo el mundo puede verlo, y vos también.

Se hace un repentino silencio y los reflectores te enfocan sólo a vos. El conductor dice: «Tenés dos opciones. Podés mantener la puerta que elegiste inicialmente, o cambiarte a la otra que todavía está cerrada. ¿Qué hacés?»

¿Qué te conviene hacer? ¿Mantener la decisión inicial? ¿Cambiar de puerta? ¿Acaso será lo mismo?

El problema es antiguo y polémico. A veces aparece asociado al nombre de Monty Hall, un canadiense que condujo un programa de concursos en la televisión muy popular en algunas épocas y algunos lugares. Es fácil responder de manera equivocada; la solución es muy poco intuitiva.

La primera reacción es pensar que da lo mismo. Cuando el conductor abre una de las puertas es como si el concurso empezara de nuevo: hay dos puertas y tras una está el premio y tras la otra no hay nada. La chance entre una y otra parece ser equivalente. Da lo mismo cambiar de puerta o quedarse en la ya elegida.

Sin embargo no es así. Siempre conviene cambiar de puerta. ¿Por qué?

Cuando al principio elegís una puerta tenés un tercio de probabilidades de que sea la puerta con premio. Las demás puertas reúnen los dos tercios restantes. Que el conductor abra una de las otras puertas no cambia esa distribución: la tuya sigue teniendo un tercio de probabilidades, y la probabilidad de las otras se acumula en la única que permanece cerrada. Si cambiás de puerta la chance de ganar es de dos tercios.

Podés entenderlo mejor con este experimento mental. Imaginate que hay mil puertas. Tras una sola de ellas está el premio. Elegís una. El conductor abre todas las demás salvo una. ¿Cuál elegirías ahora?

Si todavía no estás convencido podés hacer una simulación sobre la mesa de la cocina, con tres tazas al revés y un terrón de azúcar. Pedile a un amigo que haga de conductor. Primero esconde el terrón bajo de una taza, luego te pide que elijas una, después da vuelta una taza que sabe que está vacía. Probá varias veces: vas a ver que cambiar de taza es lo mejor.

¿Cuántos granos de arena hay en todas las playas de América? ¿Cuántos átomos hay en el universo? ¿Cuántas células hay en el cuerpo humano? ¿Cuántos bits hay en un disco rígido?

Es difícil tener una correcta percepción de los números muy grandes. La leyenda de la invención del ajedrez sirve como ejemplo. ¿Cuánto espacio hace falta para guardar un millón de pelotas de fútbol? ¿En cuánto tiempo leeríamos un millón de novelas? En su libro Matemáticas... ¿estás ahí?, Adrián Paenza propone este ejercicio.

1. Dibujá un segmento en una hoja.
2. Poné el número cero en el extremo izquierdo.
3. Poné el número un billón en el extremo derecho.
4. Marcá en ese segmento el número mil millones.

¿Dónde lo pondrías? Después de dar una respuesta intuitiva, volvé a intentarlo, pero esta vez calculando con cuidado. Es sorprendente.

Los nombres de los números muy grandes respetan cierta reglas razonables. Un millón de millones hacen un billón; un millón de billones hacen un trillón; un millón de trillones hacen un cuatrillón. En esta página se puede introducir cualquier número, no importa lo grande que sea, y devuelve el nombre de un número escrito en correcto inglés. (Sería bueno y no tan complicado disponer de algo similar en castellano.) Algunos números mayores tienen nombre especial. El googol es un 1 seguido por cien ceros; la palabra fue inventada por un chico de nueve años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. El googolplex es más monstruoso todavía: un 1 seguido por un googol de ceros.

Todos estos números son enormes, gigantes, titánicos, pero todavía finitos. Es decir, con suficiente paciencia —en algunos casos, con paciencia sobrenatural— sería posible escribirlos o pronunciarlos. Con suficiente malicia, a cualquiera de ellos podríamos sumarle 1 y de esa manera obtener un número mayor. El infinito es otra cosa, algo esencialmente distinto. No es un número; es un concepto.

Elegí un número de tres cifras. No importa cuál; solamente es necesario que la diferencia entre la primera y la última cifra sea mayor que 2. Escribilo sobre una hoja, y al lado escribilo al revés. Después, restá ambos números.

725 – 527

El resultado también escribilo al revés. Otra vez tenés dos números. Esta vez sumalos.

189 + 891

No importa con qué número empieces: siempre vas a llegar al 1089. Si no estás convencido, hacé todas las pruebas que necesites.

El número 6174 también es curioso.

Elegí un número de cuatro cifras. Primero ordená sus cifras de mayor a menor; anotá el resultado. Después ordená las cifras de menor a mayor y también anotá el resultado. Restá ambos números. Digamos que elegiste el 1402, la fecha de hoy. Los ceros también cuentan.

4210 – 0142 = 4068

Si no ves nada raro, repetí el procedimiento. Primero las cifras de mayor a menor, luego de menor a mayor, y finalmente la resta.

8640 – 0468 = 8172

Hace lo mismo otra vez, y quizás otra más. En unos pocos pasos, vas a llegar al número 6174. Siempre; no importa con qué número empieces. (Salvo que el número use una única cifra repetida, como el 5555 o el 9999. En ese caso, el resultado es un cero inmediato.)

¿Por qué pasará esto?

Imaginemos una bacteria con el siguiente ciclo vital. El primer día nace. El segundo día de su vida lo dedica a crecer y volverse adulta. A partir del tercer día y cada uno de los días siguientes se reproduce, generando una bacteria idéntica y con su mismo ciclo vital. Ponemos una sola de estas bacterias en un tubo de ensayo. ¿Cuántas tendremos luego de diez días?

Podemos responder la pregunta analizando con paciencia la vida de esa colonia de bacterias. El primer día hay una sola; el segundo día también. El tercer día hay dos, porque la primera se reprodujo. El cuarto día son tres, porque la recién nacida todavía está creciendo. El quinto día son cinco, porque ya son dos las que tienen descendencia. Si tuvimos cuidado de no confundirnos ni marearnos, podremos ver que al décimo día las bacterias son 55. Así evolucionó la población dentro del tubo de ensayo, día por día:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Fijate bien. A partir del tercer número, cada nuevo número es igual a la suma de los dos anteriores. Ocho es igual a 5+3; trece es igual a 8+5. Este descubrimiento nos permite predecir fácilmente lo que ocurrirá dentro de ese tubo de ensayo imaginario. En día once las bacterias serán 34+55 = 89. El día doce serán 144. Después de cien días serán 354224848179261915075.

Esta secuencia de números es conocida como sucesión de Fibonacci. La descubrió un matemático italiano que vivió hace novecientos años. Se llamaba Leonardo de Pisa pero era apodado Fibonacci a causa del nombre de su padre. Tuvo un papel importantísimo pero casi secreto en el desarrollo de la ciencia: introdujo en Europa el concepto de cero, que en esa época sólo era usado por los matemáticos árabes.

Aunque parece una serie de números muy arbitraria —nuestra colonia de bacterias es imaginaria— sucede que está muy presente en la naturaleza. Las semillas del girasol están distribuidas en forma de espiral, algunos desplegándose en sentido horario y otros en sentido antihorario; la cantidad de espirales en una y otra dirección son números de Fibonacci consecutivos. Algo similar ocurre en las piñas de los pinos. Hay números de Fibonacci en los enjambres de abejas, en los caparazones de los caracoles, en la curva de las olas. Incluso en tus manos: cada dedo, excepto el pulgar, está formado por tres huesos; la suma de los dos más cortos es igual a la longitud del más largo.

El Buscaminas es un juego de deducción que suele instalarse junto al sistema operativo Windows. Esto hace que sea, quizás junto al Sudoku, uno de los juegos lógicos más populares del mundo.

Habrás jugado alguna vez. Al principio el tablero parece vacío, pero en ciertas casillas hay minas ocultas. Con tu mouse tenés que hacer clic en una casilla. Si hay una mina, explota y perdiste definitivamente. Si no hay mina, aparece un número, que indica la cantidad de minas en las ocho casillas circundantes. Así, un 2 indica que dos de esas ocho casillas tienen una mina, y un 8 que todas las casillas tienen una mina. Reuniendo pistas de diferentes casillas tenés que deducir la ubicación exacta de todas las minas del tablero.

Como suele ocurrir con estos juegos, la diversión no está sólo en resolverlos, sino también en perfeccionar estrategias para resolverlos. Cada uno tendrá las suyas: buscar los números más altos, buscar los más bajos, examinar los números de las esquinas y los recovecos, crecer a partir de lo ya sabido, explorar diferentes rincones del tablero... El juego también mide el tiempo que tardás en resolverlo, lo que implica un desafío adicional: no sólo hay que hacerlo bien, también hay que hacerlo rápido. Si sabés inglés, esta lista de consejos te puede resultar útil. Incluye sugerencias para la deducción (si estás obligado a señalar una casilla al tuntún, que sea la casilla menos riesgosa) y para mejorar el récord de tiempo (controlá la respiración antes de mover el mouse). Como verás, hay gente que se lo toma muy en serio; hace unos meses se realizó un torneo mundial de Buscaminas en la ciudad austríaca de Viena.

Si no lo tenés instalado, podés jugarlo online aquí. Como sucede con el original de Windows hay tres niveles, cada uno con diferentes tamaños y distinta cantidad de minas. Y si estás de vacaciones en una playa inaccesible o una sierra remota también podés practicarlo con lápiz y papel, al estilo de la Batalla Naval. Necesitás un rival y un tablero cuadriculado; por turnos se hacen preguntas el uno al otro. «¿F4?» «¡Mina!»

Hace unas semanas, el zoológico de Buenos Aires lanzó una campaña publicitaria con carteles grandes y coloridos. Mirándolos de cierta manera se ve la silueta de dos animales; mirándolos de una manera distinta, se ve la silueta de otro. Aquí al lado vemos un ejemplo, donde una mariposa surge entre dos hipocampos. Aquí están los demás. Entre dos cocodrilos aparece un águila; entre dos cerdos, una lechuza; entre dos elefantes, la cabeza de una serpiente. (Para verlos todos buscá la pequeña flecha en la parte inferior; un clic en la imagen te permite verla con un tamaño mayor.)

¿Cuál es la imagen principal: la mariposa o los hipocampos? Ambas, pero no simultáneamente. Depende de cómo se mire. La posibilidad de confundir o distinguir claramente entre el fondo y la figura fue muy estudiada por los especialistas en la percepción visual. Es posible que alguna vez te hayas cruzado con la famosa imagen donde puede verse tanto un jarrón como dos perfiles. El artista gráfico holandés M. C. Escher, que solía deleitarse con los engaños de la mirada, utilizó varias veces el recurso de mezclar deliberadamente el fondo y la figura; por ejemplo, convirtiendo peces en pájaros.

¿Y por qué ocurre esto? Aquí y aquí podés ver explicaciones y muchos más ejemplos.

Alguna vez habrás jugado al Juego del 15, aunque quizás sin saber su nombre. En un tablero pequeñito, de cuatro casillas de lado, hay quince fichas numeradas del 1 al 15. El objetivo es dejarlas en el orden correcto, 1-2-3-4 en la primera fila, 5-6-7-8 en la segunda, y así, con el espacio vacío en la esquina inferior derecha. Podés jugarlo online, aunque si tenés tiempo y habilidad es muy placentero armar el propio rompecabezas con fichas de madera o plástico.

El juego fue inventado hace más de cien años y es popular todavía ahora. Suele ser usado en promociones publicitarias, quizás porque resulta fácil combinarlo con una fotografía; en este caso el objetivo es armar la imagen correcta.

Lo llamamos «rompecabezas de piezas deslizantes» porque lo único que hacen las piezas es deslizarse sobre la mesa, sin los saltos del Senku ni la tercera dimensión del Cubo Mágico. El objetivo siempre es alcanzar una configuración determinada de antemano.

Otro famoso ejemplar de esta familia fue conocido con el nombre comercial de Trabado. En este caso las piezas tienen distinta forma (cuadrados pequeños, rectángulos, cuadrados grandes) y el objetivo es liberar a una de esas piezas, la más incómoda de mover.

Alrededor de esa idea se crearon muchos otros rompecabezas. Aquí tenés una extensísima colección para jugar online y entretenerte todo el verano. Hay problemas especiales del Juego del 15, variantes del Trabado, rompecabezas antiguos, invenciones modernas. Es posible enfrentarlos moviendo las piezas al tuntún, sin pensar, con la esperanza de que alguna vez se arme mágicamente la solución; aunque reflexionar y analizar un poco el juego puede ser muy provechoso.

El ajedrez puede verse como la representación de una guerra. El tablero blanco y negro es el campo de batalla; cada bando, un ejército. La vanguardia está formada por la infantería, que se destaca por su número y capacidad de sacrificio pero no por su potencia de fuego. La caballería tiene un movimiento envolvente, las torres avanzan con rectitud y contundencia, el rey es la pieza crucial que hay que defender a toda costa.

Pero la comparación es muy imperfecta, especialmente cuando la guerra se vuelve más y más compleja. Aspectos fundamentales como la logística, las diferencias de terrenos y los daños relativos entre unidades militares no son tenidos en cuenta. En el siglo XIX se hicieron intentos de crear juegos que permitiera el entrenamiento de los oficiales del ejército, teni